Determine o centro C e raio r da esfera de equação geral:
a) x^2+y^2+z^2-2 x+6 y-10 z-1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro e o raio da esfera dada por x^2+y^2+z^2-2x+6y-10z-1=0. O conteúdo aqui é geometria analítica de esferas e vamos usar o método de completar quadrados para passar à forma padrão (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2.

Passo 2

Agrupamos termos de cada variável e completamos quadrados usando que (u+a)^2=u^2+2au+a^2:

Passo 3

Substituindo na equação original e somando constantes:
(x-1)^2-1+(y+3)^2-9+(z-5)^2-25-1=0
As constantes dão -1-9-25-1=-36, então:
(x-1)^2+(y+3)^2+(z-5)^2-36=0
ou ainda
(x-1)^2+(y+3)^2+(z-5)^2=36

Passo 4

Comparando com a forma padrão (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2, concluímos que
x0=1, y0=-3, z0=5 e r^2=36, logo r=6.

Resposta

Centro C=(1,-3,5) e raio r=6

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