Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
nabla f(x, y, z) sendo f(x, y, z)=
(x^2+y^2+1) z^2

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o gradiente de uma função de três variáveis e calcular nabla f(x,y,z) para
f(x,y,z) = l(x^2+y^2+1r),z^2
O conteúdo aqui é derivadas parciais e a definição de gradiente em R^3.

Passo 2

Por definição, o gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada variável:
nabla f(x,y,z) = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial x. Tratando y e z como constantes,
f(x,y,z) = (x^2+y^2+1),z^2
é uma função de x do tipo x^2cdot z^2 mais termos independentes de x. Assim,
partial fpartial x = 2x;z^2

Passo 4

Para partial fpartial y aplicamos o mesmo raciocínio, agora tratando x e z como constantes. O único termo que depende de y é y^2,z^2, logo
partial fpartial y = 2y;z^2

Passo 5

Para partial fpartial z tratamos x e y como constantes. Como temos um produto (x^2+y^2+1),z^2, a derivada em relação a z é
partial fpartial z = 2z,l(x^2+y^2+1r)

Passo 6

Agora basta reunir as três derivadas para formar o gradiente:
nabla f(x,y,z) = l(2x,z^2,;2y,z^2,;2z,(x^2+y^2+1)r)

Resposta

nabla f(x,y,z) = l(2x,z^2,;2y,z^2,;2z,(x^2+y^2+1)r)

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