1. Num processo quimico, uma substancia se transforma em outra, a uma taxa proporcional a quantidade de substancia nào transformada. Se esta quantidade é 48 ao fim de 1 hora, e 27 ao fim de 3 horas, qual a quantidade inicial da substancia?

Passo 1

O enunciado diz que a quantidade de substância não transformada, que chamamos de A(t), decai a uma taxa proporcional a si mesma. Isso é um modelo de decaimento exponencial, descrito pela equação diferencial de primeira ordem
dAdt = -k,A(t),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. Vamos usar esse modelo para achar a condição inicial A(0).

Passo 2

A solução geral da equação
dAdt = -k,A(t)
é
A(t) = A0,e^-k t,
onde A0 = A(0) é a quantidade inicial.

Passo 3

O enunciado fornece duas condições:
A(1) = 48, A(3) = 27
Substituindo na solução, obtemos
A0,e^-kcdot1 = 48, A0,e^-kcdot3 = 27

Passo 4

Para encontrar k, dividimos a segunda condição pela primeira:
A0,e^-3kA0,e^-k = e^-2k = 2748 = 916
Tomando logaritmo natural,
-2k = ln!l(tfrac916r) Longrightarrow k = -tfrac12,ln!l(tfrac916r)

Passo 5

Agora, voltamos em A(1)=48 para achar A0:
A0 = 48,e^,k = 48,expl(-tfrac12ln!tfrac916r) = 48,raiz169 = 48cdot43 = 64

Resposta

A quantidade inicial da substância é 64.

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