- Num processo quimico, uma substancia se transforma em outra, a uma taxa proporcional a quantidade de substancia nào transformada. Se esta quantidade é 48 ao fim de 1 hora, e 27 ao fim de 3 horas, qual a quantidade inicial da substancia?
Passo 1
O enunciado diz que a quantidade de substância não transformada, que chamamos de
, decai a uma taxa proporcional a si mesma. Isso é um modelo de decaimento exponencial, descrito pela equação diferencial de primeira ordem
onde
é a constante de proporcionalidade. Vamos usar esse modelo para achar a condição inicial
.
Passo 2
A solução geral da equação
é
onde
é a quantidade inicial.
Passo 3
O enunciado fornece duas condições:
Substituindo na solução, obtemos
Passo 4
Para encontrar
, dividimos a segunda condição pela primeira:
Tomando logaritmo natural,
Passo 5
Agora, voltamos em
para achar
:
Resposta
A quantidade inicial da substância é
.