Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule \nabla f(x, y, z) sendo f(x, y, z)=
(b) x^{2}+y z+z^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) “Defina gradiente de uma função de três variáveis” e (ii) “Calcule \nabla f(x,y,z) para a função dada”.
Informações fornecidas: a função é \displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y z+z^{2}.
Vou primeiro explicar o que é gradiente e como se calcula, e em seguida aplicar essas instruções passo a passo nessa função.

Passo 2

O que é o gradiente?
O gradiente de uma função de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Em notação:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa “derivar f em relação a x mantendo y e z constantes”, e análogo para as outras componentes. Outra forma de definir cada derivada parcial é por limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h},
e fórmulas semelhantes para \partial f/\partial y e \partial f/\partial z.

Passo 3

Regras úteis que vou usar (explicadas de forma prática):
  • Regra do potência: para \displaystyle g(x)=x^{n} com n inteiro, g'(x)=n x^{n-1}. Ex.: a derivada de \displaystyle x^{2} em relação a x é \displaystyle 2x.
  • Regra do produto (caso simples): se h(y)=y\cdot z e z é tratado como constante ao derivar em relação a y, então \displaystyle \frac{d}{dy}(y z)=z. Ou seja, derive apenas a variável que está sendo diferenciada, tratando as outras como constantes.
  • Soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Vou aplicar essas regras para cada derivada parcial, lembrando sempre: ao derivar em relação a uma variável, as outras são constantes.

Passo 4

Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Partimos de \displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y z+z^{2}. Ao derivar em relação a x tratamos y e z como constantes. As parcelas que dependem de x são apenas \displaystyle x^{2}; as parcelas \displaystyle y z e \displaystyle z^{2} são constantes frente a x e sua derivada é 0. Aplicando a regra do potência:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 5

Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora derivamos em relação a y, tratando x e z como constantes. Na expressão \displaystyle x^{2}+y z+z^{2} apenas a parcela \displaystyle y z depende de y. Como z é constante nesse cálculo, aplicamos a regra do produto simples:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\frac{d}{dy}\bigl(y z\bigr)=z.
As outras parcelas dão 0.

Passo 6

Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Derivando em relação a z, tratamos x e y como constantes. As parcelas que dependem de z são \displaystyle y z e \displaystyle z^{2}. Aplicamos as regras:
  • \displaystyle \frac{d}{dz}(y z)=y porque y é constante,
  • \displaystyle \frac{d}{dz}(z^{2})=2z pela regra do potência.
    Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=y+2z.

Passo 7

Agora juntamos as três componentes para formar o gradiente. Pela definição do Passo 2:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Substituindo as derivadas encontradas:
\nabla f(x,y,z)=\bigl(2x,\;z,\;y+2z\bigr).
Em notação com vetores unitários:
\nabla f(x,y,z)=2x\,\mathbf{i}+z\,\mathbf{j}+(y+2z)\,\mathbf{k}.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para consolidar): calcular \nabla f no ponto (1,2,3):
\nabla f(1,2,3)=(2\cdot1,\;3,\;2+2\cdot3)=(2,\;3,\;8).
Interpretação curta e motivadora: esse vetor aponta para a direção de maior crescimento de f naquele ponto e seu comprimento indica a taxa de crescimento nessa direção. Tá indo bem — só treinar mais uns exemplos assim e pega fácil na prova!

Resposta

\nabla f(x,y,z)=(2x,\;z,\;y+2z)

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