Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) “Defina gradiente de uma função de três variáveis” e (ii) “Calcule
para a função dada”.
Informações fornecidas: a função é .
Vou primeiro explicar o que é gradiente e como se calcula, e em seguida aplicar essas instruções passo a passo nessa função.
Informações fornecidas: a função é
Vou primeiro explicar o que é gradiente e como se calcula, e em seguida aplicar essas instruções passo a passo nessa função.
Passo 2
O que é o gradiente?
O gradiente de uma função de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Em notação:
O gradiente de uma função de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Em notação:
Aqui
significa “derivar
em relação a
mantendo
e
constantes”, e análogo para as outras componentes. Outra forma de definir cada derivada parcial é por limite:
e fórmulas semelhantes para
e
.
Passo 3
Regras úteis que vou usar (explicadas de forma prática):
- Regra do potência: para
com inteiro, . Ex.: a derivada de em relação a é . - Regra do produto (caso simples): se
e é tratado como constante ao derivar em relação a , então . Ou seja, derive apenas a variável que está sendo diferenciada, tratando as outras como constantes. - Soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Vou aplicar essas regras para cada derivada parcial, lembrando sempre: ao derivar em relação a uma variável, as outras são constantes.
Passo 4
Calcule
.
Partimos de . Ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes. As parcelas que dependem de
são apenas
; as parcelas
e
são constantes frente a
e sua derivada é
. Aplicando a regra do potência:
Partimos de
Passo 5
Calcule
.
Agora derivamos em relação a , tratando
e
como constantes. Na expressão
apenas a parcela
depende de
. Como
é constante nesse cálculo, aplicamos a regra do produto simples:
Agora derivamos em relação a
As outras parcelas dão
.
Passo 6
Calcule
.
Derivando em relação a , tratamos
e
como constantes. As parcelas que dependem de
são
e
. Aplicamos as regras:
Derivando em relação a
-
porque é constante, -
pela regra do potência.
Somando:
Passo 7
Agora juntamos as três componentes para formar o gradiente. Pela definição do Passo 2:
Substituindo as derivadas encontradas:
Em notação com vetores unitários:
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para consolidar): calcular
no ponto
:
Interpretação curta e motivadora: esse vetor aponta para a direção de maior crescimento de
naquele ponto e seu comprimento indica a taxa de crescimento nessa direção. Tá indo bem — só treinar mais uns exemplos assim e pega fácil na prova!