Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
(a) f(x, y)= \begin{cases}\frac{-x y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos onde a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{-xy}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0) \end{cases}
é diferenciável, e justificar a resposta.
Informações dadas: a expressão racional \dfrac{-xy}{x^{2}+y^{2}} vale para todos os pontos (x,y) exceto a origem, e na origem a função foi definida como 0.]

Passo 2

Análise dos pontos (x,y)\neq(0,0). Ideia: mostrar que em qualquer ponto fora da origem a função é razão de funções polinomiais não nulas no denominador, logo é diferenciável ali. Explicando devagar: considere as funções N(x,y)=-xy e D(x,y)=x^2+y^2. Ambas são polinômios em x e y, portanto são diferenciáveis em todo \mathbb{R}^2. A função f fora da origem é a quociente f=N/D, e esse quociente é bem definido e suave onde D\neq0. Formalizando um pouco: se N e D são diferenciáveis e D(x_0,y_0)\neq0, então N/D é diferenciável em (x_0,y_0) (regra do quociente para funções de várias variáveis). Assim, todo ponto com (x,y)\neq(0,0) é ponto de diferenciabilidade de f.
Para ficar mais concreto (e para você poder usar na prova), podemos calcular as derivadas parciais em um ponto (x,y)\neq(0,0) usando a regra do quociente. Seja D=x^2+y^2. Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{(-y)D-(-xy)(2x)}{D^2} =\frac{x^2y-y^3}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(-x)D-(-xy)(2y)}{D^2} =\frac{-x^3+xy^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{-x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.
Essas fórmulas mostram explicitamente que as derivadas parciais existem e são funções contínuas em todo ponto com x^2+y^2>0. Pelo critério usual (se as derivadas parciais existem numa vizinhança e são contínuas então a função é diferenciável), concluímos que f é diferenciável em todo (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Análise do ponto (0,0). Primeiro, calcular as derivadas parciais no ponto origem (essas derivadas parciais podem existir mesmo se a função não for diferenciável). Pela definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
pois f(h,0)=\dfrac{-h\cdot0}{h^2+0}=0. Analogamente
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0.
Portanto as derivadas parciais na origem existem e valem 0. Se f fosse diferenciável em (0,0), a melhor aproximação linear seria a função linear nula L(x,y)=0 (porque as derivadas parciais são zero).
Agora verificamos se essa aproximação realmente funciona, ou seja, se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.
Mas antes de calcular esse limite, note algo mais simples: diferenciabilidade implica continuidade. Se f fosse diferenciável em (0,0) então f seria contínua em (0,0), logo teríamos \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0. Vamos verificar se a função é contínua na origem.
Considere a aproximação pela reta y=x. Para x\neq0 temos
f(x,x)=\frac{-x\cdot x}{x^2+x^2}=\frac{-x^2}{2x^2}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto, ao aproximarmos a origem pela curva y=x com x\to0, os valores de f ficam constantes em -\tfrac{1}{2}. Assim
\lim_{(x,x)\to(0,0)}f(x,x)=-\tfrac{1}{2}\neq 0=f(0,0).
Isso mostra que f não é contínua em (0,0). Como diferenciabilidade implica continuidade, concluímos imediatamente que f não é diferenciável em (0,0).
(Se quiser ver outra evidência: ao usar a condição de diferencial com L=0 obteríamos \dfrac{f(x,x)}{\sqrt{2}|x|}=\dfrac{-1/2}{\sqrt{2}|x|} que não tende a 0 quando x\to0.)

Passo 4

Conclusão final (resumo pedagógico e motivador): a função é diferenciável em todos os pontos onde a expressão \dfrac{-xy}{x^2+y^2} está bem definida e suave, isto é, em todo (x,y) com (x,y)\neq(0,0). Na origem a função falha já na continuidade (e portanto na diferenciabilidade) porque, por exemplo, aproximando-se pela reta y=x obtém-se limite -\tfrac{1}{2}\neq0. Então o conjunto de diferenciabilidade é exatamente todos os pontos exceto a origem.

Resposta

\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}

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