Q 9 Determine uma transformação linear:
T: R^3 R^3 tal que Im(T)=[(1,1,2) ;(2,1,0)];

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear tal que
.
O conteúdo envolve a definição de transformação linear e como garantir que sua imagem seja exatamente o subespaço gerado por dois vetores.

Passo 2

Uma forma sistemática de construir é escolher as imagens dos vetores da base canônica de modo que elas gerem exatamente o subespaço desejado. Se definirmos
ficamos com e, como e já geram todo o subespaço, teremos igualdade.

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y,z)inR^3, pela linearidade
T(x,y,z) =x,T(e1)+y,T(e2)+z,T(e3) =(x,x,2x)+(2y,y,0)+(0,0,0) =(x+2y,;x+y,;2x)

Passo 4

Verificando a imagem: todo vetor é combinação linear de e , logo . E como e produzem exatamente esses dois vetores, concluímos

Resposta

Uma transformação que satisfaz as condições é
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+2y,;x+y,;2x)

Exercícios relacionados