Q 9 Determine uma transformação linear:
T: R^3 R^4, tal que ker(T)=(x, y, z) in R^3 ; z=x-y e T(0,0,1)=(0,0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^4 tal que
ker(T)=(x,y,z)inR^3mid z=x-y,
T(0,0,1)=(0,0,0,1).
Pela dimensão do núcleo ( dimker(T)=2) e do domínio ( dimR^3=3), o posto de T é 1. Isto significa que a imagem de T é uma reta em R^4, e como T(0,0,1) gera essa imagem, podemos definir
T(u)=f(u),(0,0,0,1)
para algum funcional linear f:R^3toR com ker(f)=ker(T).

Passo 2

Vamos encontrar um funcional f cuja kernel seja exatamente o plano z=x-y. Um modo direto é notar que a equação z-(x-y)=0 define esse plano. Definimos
f(x,y,z)=z - x + y
É fácil conferir que f(x,y,z)=0 se, e somente se, z=x-y, logo ker(f)=(x,y,z)mid z=x-y.

Passo 3

Agora que f tem o núcleo desejado, e como queremos Im(T)=lang<=(0,0,0,1)rang<= com T(0,0,1)=(0,0,0,1), basta definir
T(x,y,z)=f(x,y,z),(0,0,0,1)
Em particular,
T(0,0,1)=(f(0,0,1)),(0,0,0,1)=(1),(0,0,0,1)=(0,0,0,1),
como exigido.

Passo 4

Escrevendo explicitamente as componentes de T, temos
T(x,y,z)=(0,0,0,;z - x + y)

Resposta

T(x,y,z)=(0,0,0,;z - x + y)

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