Defina indutivamente a sequência (xn)n in N pondo
x1=raiz6 e xn+1=raiz6+xn, para todo n in N
Prove que:
(a) (0,5 ponto) Para todo n in N, xn<3.
(b) ( 0,1 ponto) Para todo n in N, xn+1^2-xn^2=(2+xn)(3-xn).
(c) ( 0,4 ponto) A sequência (xn)n in N é crescente.
(d) (1 ponto) A sequência (xn)n in N é convergente e lim n infty xn=3.

Passo 1

O enunciado define a sequência l(xnr)ninN por
x1 = raiz6, xn+1 = raiz6 + xn
Vamos usar indução para (a), cálculo direto para (b), depois usar (a) e (b) para mostrar em (c) que é crescente, e enfim em (d) aplicar o Teorema da Convergência de sequências monótonas e limitadas para achar o limite.

Passo 2

Prova de (a) por indução em n.
Base ( n=1):
x1 = raiz6 < raiz9 = 3
Passo indutivo: suponha que xn < 3. Então
xn+1 = raiz6 + xn < raiz6 + 3 = raiz9 = 3
Logo, por indução, para todo ninN vale xn < 3.

Passo 3

Cálculo de (b). Pela definição,
xn+1^2 = 6 + xn
Então
xn+1^2 - xn^2 = (6 + xn) - xn^2 = -l(xn^2 - xn - 6r) = (2 + xn),(3 - xn)

Passo 4

Prova de (c). Como por (a) temos xn<3, então 3 - xn>0, e claro 2 + xn>0. Logo
xn+1^2 - xn^2 = (2 + xn),(3 - xn) > 0
Como todos os xn são positivos, isso implica xn+1 > xn. Portanto a sequência é crescente.

Passo 5

Prova de (d). A sequência l(xnr) é crescente (Passo 4) e limitada superiormente por 3 (Passo 2). Pelo Teorema de Convergência de sequências monótonas e limitadas, ela converge. Seja
L = limntoinfty xn
Fazendo ntoinfty em xn+1 = raiz6 + xn, obtemos
L = raiz6 + L Longrightarrow L^2 - L - 6 = 0 Longrightarrow L in -2,3
Como xn>0, escolhemos L=3.

Resposta

(a) Para todo n, xn<3.
(b) Para todo n, xn+1^2 - xn^2 = (2 + xn),(3 - xn).
(c) A sequência é crescente.
(d) A sequência converge e limntoinftyxn = 3.

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