Defina indutivamente a sequência
pondo
Prove que:
(a) (0,5 ponto) Para todo
.
(b) ( 0,1 ponto) Para todo
.
(c) ( 0,4 ponto) A sequência
é crescente.
(d) (1 ponto) A sequência
é convergente e
.
(a) (0,5 ponto) Para todo
(b) ( 0,1 ponto) Para todo
(c) ( 0,4 ponto) A sequência
(d) (1 ponto) A sequência
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Vamos usar indução para (a), cálculo direto para (b), depois usar (a) e (b) para mostrar em (c) que é crescente, e enfim em (d) aplicar o Teorema da Convergência de sequências monótonas e limitadas para achar o limite.
Passo 2
Prova de (a) por indução em
.
Base (
):
Passo indutivo: suponha que
. Então
Logo, por indução, para todo
vale
.
Passo 3
Cálculo de (b). Pela definição,
Então
Passo 4
Prova de (c). Como por (a) temos
, então
, e claro
. Logo
Como todos os
são positivos, isso implica
. Portanto a sequência é crescente.
Passo 5
Prova de (d). A sequência
é crescente (Passo 4) e limitada superiormente por 3 (Passo 2). Pelo Teorema de Convergência de sequências monótonas e limitadas, ela converge. Seja
Fazendo
em
, obtemos
Como
, escolhemos
.
Resposta
(a) Para todo
,
.
(b) Para todo ,
.
(c) A sequência é crescente.
(d) A sequência converge e .
(b) Para todo
(c) A sequência é crescente.
(d) A sequência converge e