Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil
integral duplaD sen^2(x) d A, D é limitada por y=cos x, 0 <= x <= pi / 2, y=0, x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a gente precisa calcular . A região é delimitada por , , e . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais iteradas, para resolver isso. Precisaremos definir as integrais em ambas as ordens de integração (primeiro em depois em e vice-versa) e depois calcular usando a ordem mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva vai de a , e é o eixo . Então, para cada nesse intervalo, varia de 0 até .

Passo 3

Vamos definir a integral dupla na ordem integral0^pi2 integral0^cos x sen^2(x) , dy , dx . Isso significa que primeiro integramos em relação a de 0 a , e depois em relação a de 0 a . A integral fica assim:

Passo 4

Agora, vamos definir a integral na ordem integral0^1 integral0^arccos y sen^2(x) , dx , dy . Para isso, precisamos determinar como varia para cada . Da equação , podemos resolver para : . Então, para cada , varia de 0 até , e varia de 0 a 1 (já que e ). A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos escolher a ordem mais fácil para calcular. Observando as duas opções, integrar primeiro em integral0^pi2 integral0^cos x sen^2(x) , dy , dx parece mais simples porque não depende de . Então, vamos seguir com a ordem :

Passo 6

Vamos integrar a função em relação a integral0^cos x sen^2(x) , dy = sen^2(x) cdot y |0^cos x = sen^2(x) cdot cos x :

Passo 7

Agora, a integral fica apenas em relação a integral0^pi2 sen^2(x) cos x , dx :

Passo 8

Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição , então integral0^1 u^2 , du = u^33 |0^1 = 13 . Quando , ; quando , . A integral fica:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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