Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil é limitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a gente precisa calcular . A região é delimitada por , , e . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais iteradas, para resolver isso. Precisaremos definir as integrais em ambas as ordens de integração (primeiro em depois em e vice-versa) e depois calcular usando a ordem mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A curva vai de a , e é o eixo . Então, para cada nesse intervalo, varia de 0 até .
Passo 3
Vamos definir a integral dupla na ordem . Isso significa que primeiro integramos em relação a de 0 a , e depois em relação a de 0 a . A integral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos definir a integral na ordem . Para isso, precisamos determinar como varia para cada . Da equação , podemos resolver para : . Então, para cada , varia de 0 até , e varia de 0 a 1 (já que e ). A integral fica:
Passo 5
Agora, vamos escolher a ordem mais fácil para calcular. Observando as duas opções, integrar primeiro em parece mais simples porque não depende de . Então, vamos seguir com a ordem :
Passo 6
Vamos integrar a função em relação a :
Passo 7
Agora, a integral fica apenas em relação a :
Passo 8
Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição , então . Quando , ; quando , . A integral fica: