Use a integral dupla para determinar a área da região D
r=raiztheta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma integral dupla para encontrar a área da região definida por . Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, então vamos precisar lembrar como configurar uma integral dupla nesse sistema para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. Em coordenadas polares, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . A equação nos dá uma relação entre essas duas variáveis.

Passo 3

Para calcular a área usando integrais duplas em coordenadas polares, usamos a fórmula:
A = integralalpha^beta integral0^r(theta) r , dr , dtheta
Aqui, , e e são os limites para . Precisamos determinar esses limites.

Passo 4

Vamos determinar os limites de . A função está definida para . Vamos supor que queremos calcular a área para variando de 0 a (já que é um valor comum para encerrarmos uma revolução parcial).

Passo 5

Agora, substituímos A = integral0^pi integral0^raiztheta r , dr , dtheta na fórmula da área:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a .

Passo 6

Calculando a integral interna:
integral0^raiztheta r , dr = [ r^22 ]0^raiztheta = (raiztheta)^22 - 0 = theta2
Então, a área fica:
A = integral0^pi theta2 , dtheta

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a A = 12 integral0^pi theta , dtheta = 12 [ theta^22 ]0^pi = 12 ( pi^22 - 0 ) = pi^24 :

Resposta

A área da região é unidades de área.

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