Use a integral dupla para determinar a área da região
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma integral dupla para encontrar a área da região
definida por
. Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, então vamos precisar lembrar como configurar uma integral dupla nesse sistema para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
representa. Em coordenadas polares,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. A equação
nos dá uma relação entre essas duas variáveis.
Passo 3
Para calcular a área usando integrais duplas em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui,
, e
e
são os limites para
. Precisamos determinar esses limites.
Passo 4
Vamos determinar os limites de
. A função
está definida para
. Vamos supor que queremos calcular a área para
variando de 0 a
(já que
é um valor comum para encerrarmos uma revolução parcial).
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
.
Passo 6
Calculando a integral interna:
Então, a área fica:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.