A partir da identidades rot(nabla f)=0 e div(rot F)=0, responda:
o campo F(x, y, z)=x y^2 z^2 i+z^2 sen(y) j+x^2 e^y k é rotacional de outro campo?

Passo 1

A questão dá as identidades rot(nabla f)=0 e div(rot F)=0 e pergunta se o campo F(x,y,z)=x y^2 z^2,i+z^2sin(y),j+x^2 e^y,k é rotacional de outro campo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, e vamos precisar usar a condição necessária para que um campo seja um rotacional: sua divergência deve ser zero.

Passo 2

Para um campo F ser da forma F=rotG em um domínio simplesmente conexo (como R^3), é necessário que divF=0. Então, vamos verificar essa divergência.

Passo 3

Calculamos
divF=partialpartial x(x y^2 z^2)+partialpartial y(z^2sin y)+partialpartial z(x^2 e^y)
Fazendo cada derivada, obtemos
partialpartial x(x y^2 z^2)=y^2 z^2, partialpartial y(z^2sin y)=z^2cos y, partialpartial z(x^2 e^y)=0
Portanto,
divF=y^2 z^2+z^2cos y=z^2l(y^2+cos yr)

Passo 4

Como divF não é identicamente zero, a condição necessária div(rotG)=0 falha. Logo, não existe campo G tal que F=rotG.

Resposta

Não. Como divF=z^2(y^2+cos y)neq0, não há campo G com F=rotG.

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