Mostre que o polinômio P(x)=x^100-2 x^50+1 é divisível por x^2-1.

Passo 1

No enunciado, temos o polinômio P(x)=x^100-2x^50+1 e queremos mostrar que x^2-1 divide P(x). O conteúdo envolvido é divisibilidade de polinômios e o Teorema do Resto, que relaciona raízes com fatores lineares.

Passo 2

De acordo com o Teorema do Resto, se P(a)=0 então (x-a) é fator de P(x). Note que x^2-1 se fatora como (x-1)(x+1), então basta mostrar que P(1)=0 e P(-1)=0.

Passo 3

Calculando em x=1: P(1)=1^100-2cdot1^50+1=1-2+1=0. Calculando em x=-1: P(-1)=(-1)^100-2cdot(-1)^50+1=1-2+1=0. Portanto, (x-1) e (x+1) são fatores, e x^2-1 divide P(x).

Resposta

O polinômio P(x)=x^100-2x^50+1 é divisível por x^2-1.

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