Determine o valor de
para que o polimômio
seja divisível por
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede pra achar o valor de a de modo que o polinômio P(x)=x³+(1−a)x−1 seja divisível por x−a. Esse conteúdo cai na parte de Teorema do Resto: para que x−a seja fator, basta que P(a)=0.
Passo 2
Pelo Teorema do Resto, temos que a condição de divisibilidade é P(a)=0. Ou seja, substituímos x por a em P(x) e igualamos a zero.
Calculamos P(a):
Calculamos P(a):
Agora simplificamos essa expressão. Simplificando:
Passo 3
Colocamos em evidência para resolver P(a)=0. Observamos que
Passo 4
Para satisfazer P(a)=0, ou (a−1)=0 ou (a^2+1)=0. Isso dá as soluções
Resposta
Os valores de a que fazem P(x) divisível por x−a são a=1 (real) ou a=±i (complexos). Se buscarmos apenas solução real, então a=1.