Determine o valor de a para que o polimômio P(x) seja divisível por x-a, onde P(x)=x^3+(1-a) x-1.

Passo 1

O enunciado pede pra achar o valor de a de modo que o polinômio P(x)=x³+(1−a)x−1 seja divisível por x−a. Esse conteúdo cai na parte de Teorema do Resto: para que x−a seja fator, basta que P(a)=0.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, temos que a condição de divisibilidade é P(a)=0. Ou seja, substituímos x por a em P(x) e igualamos a zero.
Calculamos P(a):
P(a)=a^3+(1−a)a−1
Agora simplificamos essa expressão. Simplificando:
P(a)=a^3+(a−a^2)−1=a^3−a^2+a−1

Passo 3

Colocamos em evidência para resolver P(a)=0. Observamos que
a^3−a^2+a−1=(a^3−a^2)+(a−1)=a^2(a−1)+(a−1)=(a−1)(a^2+1)

Passo 4

Para satisfazer P(a)=0, ou (a−1)=0 ou (a^2+1)=0. Isso dá as soluções
a−1=0implies a=1
a^2+1=0implies a=±i

Resposta

Os valores de a que fazem P(x) divisível por x−a são a=1 (real) ou a=±i (complexos). Se buscarmos apenas solução real, então a=1.

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