Defina f(0,0) de maneira que f(x, y) seja contínua na origem:
f(x, y)=ln (3 x^2-x^2 y^2+3 y^2x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede definir f(0,0) de modo que f seja contínua na origem. Como
f(x,y)=lnl(A(x,y)r),
com
A(x,y)=3x^2-x^2y^2+3y^2x^2+y^2,
basta calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y), que será ln do limite de A(x,y).

Passo 2

Simplificamos
A(x,y) = 3x^2+3y^2-x^2y^2x^2+y^2 = 3 ;-;x^2y^2x^2+y^2

Passo 3

Mostramos que
lim(x,y)to(0,0)x^2y^2x^2+y^2=0
Como lvert xyrvert<= tfracx^2+y^22, temos
x^2y^2x^2+y^2 <= l(x^2+y^2r)^2/4x^2+y^2 = x^2+y^24 ;longrightarrow;0
Logo lim A(x,y)=3.

Passo 4

Dessa forma
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) = lnl(lim A(x,y)r) = ln(3)
Para ter continuidade, basta definir
f(0,0)=ln(3)

Resposta

f(0,0)=ln(3)

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