Defina matematicamente o que significa:
Uma função ser contínua à esquerda em x=a

Passo 1

O enunciado pede: definir matematicamente o que significa "uma função ser contínua à esquerda em x=a".
Informações dadas (implícitas no enunciado): há uma função f definida em algum subconjunto do eixo real e um ponto a nesse domínio (ou pelo menos um ponto onde se quer testar a continuidade pela esquerda). A definição deve ser precisa e matemática.

Passo 2

Intuição (rápida e informal, para relaxar antes da formalidade): ser contínua à esquerda em a significa que, se eu me aproximo de a vindo apenas de valores menores que a (pela esquerda), os valores de f(x) se aproximam do valor f(a). Ou seja, não há “salto” vindo da esquerda.
Linguagem de limites — conceito que vamos usar: a expressão \lim_{x\to a^-} f(x) é o limite de f(x) quando x se aproxima de a com x<a (apenas pela esquerda). Esse limite existe com um certo valor L se os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L quando x está suficientemente perto de a e à esquerda de a.

Passo 3

Definição via limite (forma direta e mais usada): dizer que f é contínua à esquerda em x=a significa exatamente que
\lim_{x\to a^-} f(x) = f(a).
Aqui a ideia é que o limite lateral pela esquerda exista e coincida com o valor da função em a.
Equivalente formal com \varepsilon- \delta (a definição “prova de exame”): f é contínua à esquerda em x=a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x do domínio com
a-\delta < x < a,
vale
|f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Explicando cada parte: \varepsilon é o quanto aceitamos de erro na saída; \delta é o quão perto de a (pela esquerda) devemos pegar x para garantir que o erro fique abaixo de \varepsilon. Repare que só consideramos x estritamente menores que a (a aproximação pela esquerda).

Passo 4

Observação necessária sobre o domínio: para que a noção de "contínua à esquerda em a" faça sentido, o ponto a deve ser um ponto de acumulação à esquerda do domínio de f (ou seja, existem pontos do domínio arbitrariamente próximos e menores que a). Se não existirem pontos do domínio à esquerda de a, a definição do limite lateral pela esquerda não se aplica de forma usual.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar:
  • Exemplo de função contínua à esquerda em 0\) mas não necessariamente à direita: defina \[f(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] 1, & x>0. \end{cases}Aqui \lim_{x\to 0^-} f(x)=0\] e \[f(0)=0, logo f é contínua à esquerda em 0. Mas não é contínua à direita em 0 porque \lim_{x\to 0^+} f(x)=1\neq f(0).
  • Exemplo que NÃO é contínuo à esquerda: seja g(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1, & x\ge 0. \end{cases}Em a=0\] tem-se \(\lim_{x\to 0^-} g(x)=0 mas g(0)=1, portanto não é contínuo à esquerda em 0.]

Passo 6

Como checar numa prova (receita prática):
  1. Verifique se existem pontos do domínio < a arbitrariamente próximos de a. Se não houver, explique que a definição de limite lateral não se aplica.
  2. Calcule \lim_{x\to a^-} f(x) (usando álgebra, propriedades de limites, ou avaliação de peça por peça se f for por partes).
  3. Compare com f(a). Se forem iguais, f é contínua à esquerda em a; se forem diferentes (ou o limite não existir), não é.

Resposta

\displaystyle \text{A função }f\text{ é contínua à esquerda em }x=a\text{ se e somente se }\lim_{x\to a^-} f(x)=f(a).çãéíà
\displaystyle \text{Equivalente: para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, para todo }x\text{ com }a-\delta<x<a,\;|f(x)-f(a)|<\varepsilon.

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