Defina matematicamente o que significa:
Uma função ser contínua à esquerda em
Uma função ser contínua à esquerda em
Passo 1
O enunciado pede: definir matematicamente o que significa "uma função ser contínua à esquerda em
".
Informações dadas (implícitas no enunciado): há uma função definida em algum subconjunto do eixo real e um ponto
nesse domínio (ou pelo menos um ponto onde se quer testar a continuidade pela esquerda). A definição deve ser precisa e matemática.
Informações dadas (implícitas no enunciado): há uma função
Passo 2
Intuição (rápida e informal, para relaxar antes da formalidade): ser contínua à esquerda em
significa que, se eu me aproximo de
vindo apenas de valores menores que
(pela esquerda), os valores de
se aproximam do valor
. Ou seja, não há “salto” vindo da esquerda.
Linguagem de limites — conceito que vamos usar: a expressão é o limite de
quando
se aproxima de
com
(apenas pela esquerda). Esse limite existe com um certo valor
se os valores de
ficam arbitrariamente próximos de
quando
está suficientemente perto de
e à esquerda de
.
Linguagem de limites — conceito que vamos usar: a expressão
Passo 3
Definição via limite (forma direta e mais usada): dizer que
é contínua à esquerda em
significa exatamente que
Aqui a ideia é que o limite lateral pela esquerda exista e coincida com o valor da função em
.
Equivalente formal com -
(a definição “prova de exame”):
é contínua à esquerda em
se, para todo
, existe
tal que, para todo
do domínio com
Equivalente formal com
vale
Explicando cada parte:
é o quanto aceitamos de erro na saída;
é o quão perto de
(pela esquerda) devemos pegar
para garantir que o erro fique abaixo de
. Repare que só consideramos
estritamente menores que
(a aproximação pela esquerda).
Passo 4
Observação necessária sobre o domínio: para que a noção de "contínua à esquerda em
" faça sentido, o ponto
deve ser um ponto de acumulação à esquerda do domínio de
(ou seja, existem pontos do domínio arbitrariamente próximos e menores que
). Se não existirem pontos do domínio à esquerda de
, a definição do limite lateral pela esquerda não se aplica de forma usual.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar:
- Exemplo de função contínua à esquerda em
Aqui
, logo
é contínua à esquerda em . Mas não é contínua à direita em porque . - Exemplo que NÃO é contínuo à esquerda: seja
Em mas , portanto não é contínuo à esquerda em .]
Passo 6
Como checar numa prova (receita prática):
- Verifique se existem pontos do domínio <
arbitrariamente próximos de . Se não houver, explique que a definição de limite lateral não se aplica. - Calcule
(usando álgebra, propriedades de limites, ou avaliação de peça por peça se for por partes). - Compare com
. Se forem iguais, é contínua à esquerda em ; se forem diferentes (ou o limite não existir), não é.