Determine o valor da constante k para que as funções abaixo sejam contínuas no ponto indicado:
h(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & \text { se } x \neq 2 \\\ k, & \text { se } x=2\end{array}\right. em x=2

Passo 1

O enunciado fornece a função definida por partes
h(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & \text{se } x\neq 2,\\[6pt] k, & \text{se } x=2, \end{cases}
e pede para determinar o valor da constante k para que a função seja contínua no ponto x=2.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão para h(x) quando x\neq2 é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • O valor da função em x=2 foi definido como a constante k.
  • O objetivo é achar k que torna h contínua em x=2.]

Passo 2

Lembrando a definição prática de continuidade num ponto (explicação didática):
  • Uma função f é contínua em x=a se e somente se os três itens a seguir forem verdadeiros:
    1. f(a) está definida (ou seja, existe um valor atribuído à função em a).
    2. \lim_{x\to a} f(x) existe (os limites laterais coincidem).
    3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
No nosso caso:
  • O item 1 já é satisfeito porque foi dado f(2)=h(2)=k.
  • Então, para continuidade em x=2 precisamos que \lim_{x\to 2} h(x)exista e seja igual a k. Logo a estratégia é calcular \lim_{x\to2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2} (porque essa é a expressão válida para x\neq2) e igualar esse limite a k.

Passo 3

Cálculo do limite \lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2} — passo a passo e com explicação de cada operação.
  1. Observe o numerador e fatorize-o; isto é uma fatoração padrão de diferença de quadrados:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
  1. Substituindo na fração temos, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
  1. Como essa expressão vale para x\neq2, podemos simplificar cancelando o fator comum (x-2) (não estamos dividindo por zero porque a simplificação é feita para x distinto de 2):
\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad\text{para }x\neq2.
  1. Portanto, a função definida pela expressão original coincide, em todos os x\neq2, com a função mais simples x+2. O limite quando x\to2 da função original é o mesmo que o limite de x+2 quando x\to2. Como x+2 é uma função polinomial (contínua em todo lugar), basta substituir x=2:
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=2+2=4.

Passo 4

Interpretação final e conclusão (didática e prática para a prova):
  • Para que h seja contínua em x=2 precisamos que \lim_{x\to2}h(x)=h(2).
  • Calculamos o limite e obtivemos \lim_{x\to2}h(x)=4.
  • Portanto devemos escolher k igual a esse valor limite para garantir continuidade: k=4.
Comentário rápido tipo “dica de prova”: esse é um caso clássico de descontinuidade removível — a expressão original tem um fator que se anula em x=2, mas após cancelar fica uma expressão contínua. Em provas, ao ver um quociente com polinômios que dá forma 0/0, tente fatorar e cancelar para achar o limite.
Exemplo extra (curto) para fixar a ideia: para \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} pede-se continuidade em x=1. Fazendo a mesma coisa, x^{2}-1=(x-1)(x+1) e para x\neq1 a fração vale x+1. Assim \lim_{x\to1}f(x)=1+1=2, então se definires f(1)=2 a função fica contínua em 1.

Resposta

k=4

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