e pede para analisar em x=0:
(a) continuidade à esquerda; (b) continuidade à direita; (c) continuidade (no ponto).
Informações relevantes dadas:
Para x<0 vale f(x)=x+1.
Para x=0 vale f(0)=2.
Para x>0 vale f(x)=x^{2}+1.
As perguntas pedem verificar igualdade entre limites laterais e o valor da função em 0.]
Passo 2
Definições importantes (essenciais para resolver):
A continuidade à esquerda em x=0 significa que
\lim_{x\to0^-} f(x)=f(0).
A continuidade à direita em x=0 significa que
\lim_{x\to0^+} f(x)=f(0).
A continuidade em x=0 (continuidade comum) exige que as duas igualdades acima sejam verdadeiras simultaneamente, ou seja, as duas limites laterais existam, sejam iguais entre si e iguais a f(0).
Observação didática rápida: para funções definidas por expressões polinomiais em cada ramo (como x+1 e x^{2}+1), os limites laterais são obtidos calculando-se o valor dessas expressões quando x se aproxima de 0 pela esquerda ou pela direita — polinômios são funções contínuas em todo ponto.
Passo 3
Calcular o limite à esquerda \lim_{x\to0^-} f(x).
Para x<0 temos f(x)=x+1.
Como x+1 é uma função contínua, o limite quando x\to0 é o valor substituindo x=0:
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-} (x+1)=0+1=1.
Passo 4
Calcular o limite à direita \lim_{x\to0^+} f(x).
Para x>0 temos f(x)=x^{2}+1.
Como x^{2}+1 é contínua, o limite quando x\to0 é o valor substituindo x=0:
Encontramos \lim_{x\to0^-} f(x)=1 e \lim_{x\to0^+} f(x)=1.
Então os dois limites laterais existem e coincidem entre si (ambos valem 1), mas esse valor é diferente de f(0), pois 1\neq2.
Passo 6
Conclusões lógicas (como usar isso numa prova):
Para continuidade à esquerda precisamos de \lim_{x\to0^-} f(x)=f(0). Aqui 1\neq2, logo não há continuidade à esquerda em x=0.
Para continuidade à direita precisamos de \lim_{x\to0^+} f(x)=f(0). Aqui 1\neq2, logo não há continuidade à direita em x=0.
Sendo falsa qualquer das condições laterais (na verdade ambas são falsas), a função não é contínua em x=0.
Dica prática para prova: sempre calcule as duas limites laterais usando a expressão do ramo correspondente e compare com o valor dado f(0). Se as duas igualarem f(0), então é contínua; se pelo menos uma não igualar, não é contínua.
Resposta
(a) Não é contínua à esquerda em x=0.
(b) Não é contínua à direita em x=0.
(c) Não é contínua em x=0.