1. Para a função f(x)= \begin{cases}x+1, & \text { se } x<0 \\\\ 2, & \text { se } x=0, \text { analise: } \\\ x^{2}+1, & \text { se } x>0\end{cases}
(a) A continuidade à esquerda em x=0
(b) A continuidade à direita em x=0
(c) A continuidade em x=0

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+1, & \text{se } x<0,\\[4pt] 2, & \text{se } x=0,\\[4pt] x^{2}+1, & \text{se } x>0, \end{cases}
e pede para analisar em x=0:
(a) continuidade à esquerda; (b) continuidade à direita; (c) continuidade (no ponto).
Informações relevantes dadas:
  • Para x<0 vale f(x)=x+1.
  • Para x=0 vale f(0)=2.
  • Para x>0 vale f(x)=x^{2}+1.
  • As perguntas pedem verificar igualdade entre limites laterais e o valor da função em 0.]

Passo 2

Definições importantes (essenciais para resolver):
  • A continuidade à esquerda em x=0 significa que
\lim_{x\to0^-} f(x)=f(0).
  • A continuidade à direita em x=0 significa que
\lim_{x\to0^+} f(x)=f(0).
  • A continuidade em x=0 (continuidade comum) exige que as duas igualdades acima sejam verdadeiras simultaneamente, ou seja, as duas limites laterais existam, sejam iguais entre si e iguais a f(0).
Observação didática rápida: para funções definidas por expressões polinomiais em cada ramo (como x+1 e x^{2}+1), os limites laterais são obtidos calculando-se o valor dessas expressões quando x se aproxima de 0 pela esquerda ou pela direita — polinômios são funções contínuas em todo ponto.

Passo 3

Calcular o limite à esquerda \lim_{x\to0^-} f(x).
  • Para x<0 temos f(x)=x+1.
  • Como x+1 é uma função contínua, o limite quando x\to0 é o valor substituindo x=0:
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-} (x+1)=0+1=1.

Passo 4

Calcular o limite à direita \lim_{x\to0^+} f(x).
  • Para x>0 temos f(x)=x^{2}+1.
  • Como x^{2}+1 é contínua, o limite quando x\to0 é o valor substituindo x=0:
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+} (x^{2}+1)=0^{2}+1=1.

Passo 5

Comparar os limites laterais com f(0).
  • Do enunciado, f(0)=2.
  • Encontramos \lim_{x\to0^-} f(x)=1 e \lim_{x\to0^+} f(x)=1.
  • Então os dois limites laterais existem e coincidem entre si (ambos valem 1), mas esse valor é diferente de f(0), pois 1\neq2.

Passo 6

Conclusões lógicas (como usar isso numa prova):
  • Para continuidade à esquerda precisamos de \lim_{x\to0^-} f(x)=f(0). Aqui 1\neq2, logo não há continuidade à esquerda em x=0.
  • Para continuidade à direita precisamos de \lim_{x\to0^+} f(x)=f(0). Aqui 1\neq2, logo não há continuidade à direita em x=0.
  • Sendo falsa qualquer das condições laterais (na verdade ambas são falsas), a função não é contínua em x=0.
Dica prática para prova: sempre calcule as duas limites laterais usando a expressão do ramo correspondente e compare com o valor dado f(0). Se as duas igualarem f(0), então é contínua; se pelo menos uma não igualar, não é contínua.

Resposta

(a) Não é contínua à esquerda em x=0.
(b) Não é contínua à direita em x=0.
(c) Não é contínua em x=0.

Exercícios relacionados