- Considere a função
Determine os valores das constantes
e
para que
seja contínua em
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função por partes
e pede para determinar as constantes
e
sujeitas a duas condições:
-
é contínua em ; -
.
Informações relevantes fornecidas:
- Para
a expressão é . - Para
a expressão é . - O ponto onde exige continuidade é
. - O valor exigido em
é .]
Passo 2
Entendendo o que significa "contínua em
" (a parte teórica bem mastigada).
- Uma função
é contínua em um ponto se o valor de em coincidir com o limite de quando tende a . Na prática, para função por partes, isso exige que o limite pela esquerda e o limite pela direita em sejam iguais e iguais ao valor . - Escrevendo isso com fórmulas: é preciso ter
Explicação dos símbolos:
é o limite quando
se aproxima de
pela esquerda (valores menores que
);
é o limite quando
se aproxima de
pela direita (valores maiores que
).
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda e o valor
usando a ramificação correta.
- Como a definição diz "se
então ", para qualquer ponto exatamente em usamos essa expressão. Portanto
- Calculando:
- O limite pela esquerda também usa a mesma expressão (ramo para
), então
Observação: ao calcular
basta substituir
porque
é polinomial e, portanto, contínua.
Passo 4
Expressar o limite pela direita em termos de
e
e impor a condição de continuidade.
- Para
temos . Logo o limite pela direita em é
- Pela condição de continuidade em
devemos ter
Já calculamos
e
, portanto exigimos
Passo 5
Usar a condição
para obter a segunda equação envolvendo
e
.
- Como
, para usamos o ramo . Assim
- A condição do enunciado é
, então
Passo 6
Resolver o sistema linear para
- Subtraindo a primeira equação da segunda (isso elimina
em
:
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar tranquilo):
- Para
: ramo esquerdo dá . Ramo direito no limite dá . São iguais, portanto continuidade OK. - Para
: . Condição satisfeita.