1. Considere a função g(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & \text { se } x \leq 1 \\\ a x+b, & \text { se } x>1\end{cases}
Determine os valores das constantes a e b para que g(x) seja contínua em x=1 e g(2)=5.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
g(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] a x+b, & \text{se } x>1, \end{cases}
e pede para determinar as constantes a e b sujeitas a duas condições:
  • g(x) é contínua em x=1;
  • g(2)=5.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\leq 1 a expressão é \,x^{2}-1.
  • Para x>1 a expressão é ax+b.
  • O ponto onde exige continuidade é x=1.
  • O valor exigido em x=2 é g(2)=5.]

Passo 2

Entendendo o que significa "contínua em x=1" (a parte teórica bem mastigada).
  • Uma função g é contínua em um ponto x=1 se o valor de g em 1 coincidir com o limite de g(x) quando x tende a 1. Na prática, para função por partes, isso exige que o limite pela esquerda e o limite pela direita em 1 sejam iguais e iguais ao valor g(1).
  • Escrevendo isso com fórmulas: é preciso ter
\lim_{x\to 1^-} g(x)=\lim_{x\to 1^+} g(x)=g(1).
Explicação dos símbolos: \lim_{x\to 1^-} é o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1); \lim_{x\to 1^+} é o limite quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda e o valor g(1) usando a ramificação correta.
  • Como a definição diz "se x\leq 1 então g(x)=x^{2}-1", para qualquer ponto exatamente em x=1 usamos essa expressão. Portanto
g(1)=1^{2}-1.
  • Calculando:
g(1)=1-1=0.
  • O limite pela esquerda também usa a mesma expressão (ramo para x\leq 1), então
\lim_{x\to 1^-} g(x)=\lim_{x\to 1^-} (x^{2}-1)=1^{2}-1=0.
Observação: ao calcular \lim_{x\to 1^-} (x^{2}-1) basta substituir x=1 porque x^{2}-1 é polinomial e, portanto, contínua.

Passo 4

Expressar o limite pela direita em termos de a e b e impor a condição de continuidade.
  • Para x>1 temos g(x)=ax+b. Logo o limite pela direita em 1 é
\lim_{x\to 1^+} g(x)=\lim_{x\to 1^+} (ax+b)=a\cdot 1 + b = a+b.
  • Pela condição de continuidade em x=1 devemos ter
\lim_{x\to 1^-} g(x)=\lim_{x\to 1^+} g(x)=g(1).
Já calculamos \lim_{x\to 1^-} g(x)=0 e g(1)=0, portanto exigimos
a+b=0.

Passo 5

Usar a condição g(2)=5 para obter a segunda equação envolvendo a e b.
  • Como 2>1, para x=2 usamos o ramo ax+b. Assim
g(2)=a\cdot 2 + b = 2a + b.
  • A condição do enunciado é g(2)=5, então
2a+b=5.

Passo 6

Resolver o sistema linear para a\) e \(b\). - O sistema é \[\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] 2a+b=5. \end{cases}
  • Subtraindo a primeira equação da segunda (isso elimina b\]): \[(2a+b)-(a+b)=5-0 \quad\Rightarrow\quad a=5.\] - Substituindo \(a=5 em a+b=0:
5+b=0 \quad\Rightarrow\quad b=-5.]

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar tranquilo):
  • Para x=1: ramo esquerdo dá g(1)=1^{2}-1=0. Ramo direito no limite dá a+b=5+(-5)=0. São iguais, portanto continuidade OK.
  • Para x=2: g(2)=2a+b=2\cdot 5+(-5)=10-5=5. Condição satisfeita.

Resposta

a=5
b=-5

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