Deformine
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar
, ou seja, todos os valores de
que pertencem simultaneamente a
e a
.
Informações dadas:
Observações iniciais importantes (sem resolver ainda): a expressão
não está definida em
, então esse ponto precisa ser tratado com cuidado ao resolver a desigualdade de
.
Passo 2
Transformar a desigualdade que define
para ter tudo num único membro (isso evita multiplicar por quantidades de sinal desconhecido). Começo subtraindo
dos dois lados:
Agora coloque em uma única fração, usando o mesmo denominador
:
Compute o numerador:
Portanto a desigualdade vira
Passo 3
Explique a técnica usada: para resolver
fazemos análise de sinais. Os pontos críticos são onde numerador ou denominador são zero ou indefinidos:
- numerador zero em
(a fração vale aí); - denominador zero em
(a fração é indefinida aí).
Esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante. Os intervalos são
,
e
. Vamos testar o sinal da fração em cada intervalo.
Passo 4
Teste de sinais (explicando como escolher o sinal sem calcular muito):
- Para
: escolha, por exemplo, . Então é negativo e é negativo, logo é positivo. Como queremos , esse intervalo não entra. - Para
: escolha, por exemplo, . Então é negativo e é positivo, logo a fração é negativa. Negativo satisfaz , então todo esse intervalo entra. - Para
: escolha, por exemplo, . Então é positivo e é positivo, logo a fração é positiva. Não entra.
Agora trate os pontos críticos:
- em
a fração vale , e a desigualdade é , portanto pertence a ; - em
a expressão é indefinida, logo não pertence a .
Concluímos:
Passo 5
Resolver
. Começo com a desigualdade dada:
Reescreva isolando
:
Isto é equivalente a
ou, em intervalo,
(Outra forma: fatorando
e usando análise de sinais chega-se ao mesmo intervalo.)
Passo 6
Fazer a interseção
. Temos
A interseção de dois intervalos é o intervalo que começa no maior dos extremos à esquerda e termina no menor dos extremos à direita. Aqui:
- maior extremo esquerdo é
(pois ); - menor extremo direito é
(pois ).
Verifique inclusão das extremidades:
-
não está em (limite aberto) então não entra; -
também não está em (strict inequality), então não entra.
Portanto a interseção é o intervalo aberto entre esses dois valores: