Deformine A \cap B
\begin{aligned} & A=\left\{x \in R: \frac{2 x+1}{x+3} \leq 1\right\} \\\ & B=\left\{x \in R: 9-4 x^{2}>0\right\} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar A\cap B, ou seja, todos os valores de x que pertencem simultaneamente a A e a B.
Informações dadas:
A=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{2x+1}{x+3}\leq 1\right\}
B=\left\{x\in\mathbb{R}:9-4x^{2}>0\right\}
Observações iniciais importantes (sem resolver ainda): a expressão \frac{2x+1}{x+3} não está definida em x=-3, então esse ponto precisa ser tratado com cuidado ao resolver a desigualdade de A.

Passo 2

Transformar a desigualdade que define A para ter tudo num único membro (isso evita multiplicar por quantidades de sinal desconhecido). Começo subtraindo 1 dos dois lados:
\frac{2x+1}{x+3}-1 \leq 0.
Agora coloque em uma única fração, usando o mesmo denominador x+3:
\frac{2x+1}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}=\frac{2x+1-(x+3)}{x+3}.
Compute o numerador:
2x+1-(x+3)=2x+1-x-3=x-2.
Portanto a desigualdade vira
\frac{x-2}{x+3}\leq 0.

Passo 3

Explique a técnica usada: para resolver \dfrac{x-2}{x+3}\leq 0 fazemos análise de sinais. Os pontos críticos são onde numerador ou denominador são zero ou indefinidos:
  • numerador zero em x=2 (a fração vale 0 aí);
  • denominador zero em x=-3 (a fração é indefinida aí).
Esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante. Os intervalos são (-\infty,-3), (-3,2) e (2,\infty). Vamos testar o sinal da fração em cada intervalo.

Passo 4

Teste de sinais (explicando como escolher o sinal sem calcular muito):
  • Para x<-3: escolha, por exemplo, x=-4. Então x-2 é negativo e x+3 é negativo, logo \dfrac{x-2}{x+3} é positivo. Como queremos \leq 0, esse intervalo não entra.
  • Para -3<x<2: escolha, por exemplo, x=0. Então x-2 é negativo e x+3 é positivo, logo a fração é negativa. Negativo satisfaz \leq 0, então todo esse intervalo entra.
  • Para x>2: escolha, por exemplo, x=3. Então x-2 é positivo e x+3 é positivo, logo a fração é positiva. Não entra.
Agora trate os pontos críticos:
  • em x=2 a fração vale 0, e a desigualdade é \leq 0, portanto x=2 pertence a A;
  • em x=-3 a expressão é indefinida, logo x=-3 não pertence a A.
Concluímos:
A = (-3,2].

Passo 5

Resolver B. Começo com a desigualdade dada:
9-4x^{2}>0.
Reescreva isolando x^{2}:
4x^{2}<9 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}<\frac{9}{4}.
Isto é equivalente a
|x|<\frac{3}{2},
ou, em intervalo,
B=\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).
(Outra forma: fatorando 9-4x^{2}=(3-2x)(3+2x) e usando análise de sinais chega-se ao mesmo intervalo.)

Passo 6

Fazer a interseção A\cap B. Temos
A = (-3,2],\qquad B=\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).
A interseção de dois intervalos é o intervalo que começa no maior dos extremos à esquerda e termina no menor dos extremos à direita. Aqui:
  • maior extremo esquerdo é -\tfrac{3}{2} (pois -\tfrac{3}{2}>-3);
  • menor extremo direito é \tfrac{3}{2} (pois \tfrac{3}{2}<2).
Verifique inclusão das extremidades:
  • -\tfrac{3}{2} não está em B (limite aberto) então não entra;
  • \tfrac{3}{2} também não está em B (strict inequality), então não entra.
Portanto a interseção é o intervalo aberto entre esses dois valores:
A\cap B=\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).

Resposta

\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)

Exercícios relacionados