Defina \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}.
\quad \mathbf{a}=\langle 6,-2,3\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 2,5,-1\rangle

Passo 1

O enunciado pede para definir e calcular o produto escalar (ou produto interno) \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} dos vetores dados. As informações fornecidas são:
  • \mathbf{a}=\langle 6,-2,3\rangle.
  • \mathbf{b}=\langle 2,5,-1\rangle.
    A tarefa é aplicar a definição do produto escalar aos componentes desses vetores e obter um número real.

Passo 2

Definição e interpretação didática do produto escalar em \mathbb{R}^3.
  • Definição algébrica: para \mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle, o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores nas direções x,y,z.
  • Interpretação geométrica (rapidamente): o produto escalar também pode ser escrito como
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \|\mathbf{u}\| é o comprimento (norma) de \mathbf{u}, \|\mathbf{v}\| é a norma de \mathbf{v} e \theta é o ângulo entre eles. Isso diz que:
  • se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}>0, o ângulo \theta é agudo ( <90^\circ);
  • se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0, os vetores são ortogonais ( \theta=90^\circ);
  • se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0, o ângulo \theta é obtuso ( >90^\circ).

Passo 3

Aplicando a definição algébrica aos vetores dados. Identificando componentes:
\mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle=\langle 6,-2,3\rangle,\qquad \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle=\langle 2,5,-1\rangle.
Pela fórmula,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.

Passo 4

Calcule cada produto componente a componente:
a_1b_1=6\cdot 2=12, \qquad a_2b_2=(-2)\cdot 5=-10, \qquad a_3b_3=3\cdot(-1)=-3.

Passo 5

Some os resultados parciais para obter o produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=12+(-10)+(-3)=12-10-3.
Agora faça a conta: 12-10=2 e 2-3=-1.

Passo 6

Interpretação rápida do resultado e dica para a prova.
  • Obtém-se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-1, um número negativo. Pela interpretação geométrica, isso indica que o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é obtuso ( >90^\circ).
  • Dica prática: em prova faça sempre componente a componente (multiplica, depois soma). Para vetores em \mathbb{R}^n o procedimento é idêntico, só aumenta o número de termos.

Resposta

-1

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