Defina a média u * v entre dois vetores no espaço vetorial E pondo u * v=\frac{1}{2} \cdot u+\frac{1}{2} \cdot v. Prove que esta operação ć associativa.

Passo 1

O enunciado define em um espaço vetorial E uma operação binária “média”
u * v = \tfrac12\,u + \tfrac12\,v
e pede para verificar se essa operação é associativa, isto é, se vale
(u * v) * w \;=\; u * (v * w)
para todo u,v,w\in E.

Passo 2

Lado esquerdo: calculemos (u * v) * w. Primeiro,
u * v = \tfrac12\,u + \tfrac12\,v.
Então
(u * v) * w = \tfrac12\,(u * v) + \tfrac12\,w = \tfrac12\bigl(\tfrac12\,u + \tfrac12\,v\bigr) + \tfrac12\,w.
Agrupando coeficientes:
(u * v) * w = \tfrac14\,u + \tfrac14\,v + \tfrac12\,w = \tfrac{1}{4}\,u + \tfrac{1}{4}\,v + \tfrac{2}{4}\,w = \tfrac{u + v + 2w}{4}.

Passo 3

Lado direito: calculemos u * (v * w). Primeiro,
v * w = \tfrac12\,v + \tfrac12\,w.
Então
u * (v * w) = \tfrac12\,u + \tfrac12\,(v * w) = \tfrac12\,u + \tfrac12\bigl(\tfrac12\,v + \tfrac12\,w\bigr).
Agrupando coeficientes:
u * (v * w) = \tfrac12\,u + \tfrac14\,v + \tfrac14\,w = \tfrac{2}{4}\,u + \tfrac{1}{4}\,v + \tfrac{1}{4}\,w = \tfrac{2u + v + w}{4}.

Passo 4

Para que a operação fosse associativa, precisaríamos ter
\tfrac{u + v + 2w}{4} \;=\; \tfrac{2u + v + w}{4} \quad\text{para todo \(u,v,w\).}
Isto equivale a
u + v + 2w = 2u + v + w \quad\Longleftrightarrow\quad u = w.
Como nem sempre u=w, a igualdade geral falha.

Resposta

A operação u * v = \tfrac12\,u + \tfrac12\,v não é associativa.

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