Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{6} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
II - Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
III - Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.
A) Apenas I e III são verdadeiras.
B) Todas são falsas.
C) Apenas II é verdadeira.
D) Apenas II e III são verdadeir as.
E) Apenas I e II são verdadeir as.
F) Todas são verdadeiras.
G) Apenas I é verdadeira.
H) Apenas III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb R^6 e dois sistemas lineares:
S_{1} é o sistema homogêneo
[\;\vec v_1\;\vec v_2\;\vec v_3\mid\vec 0\;]
e S_{2} é o sistema não-homogêneo
[\;\vec v_1\;\vec v_2\mid\vec v_3\;],
isto é, S_{2} busca x,y tais que x\vec v_1+y\vec v_2=\vec v_3.
O conteúdo usado será teoria de posto, dimensão do núcleo e condição de existência/infinitude de soluções.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas soluções.”
Se \beta é LD, existe alguma relação não-trivial
a_1\vec v_1+a_2\vec v_2+a_3\vec v_3=\vec0,
o que implica que \vec v_3\in\operatorname{span}\{\vec v_1,\vec v_2\}, logo S_{2} é compatível. Mas o número de soluções depende do posto da matriz coeficiente [\vec v_1\;\vec v_2]:
  • Se \rank[\vec v_1\;\vec v_2]=2, há solução única.
  • Se \rank[\vec v_1\;\vec v_2]=1, há infinitas soluções.
    Portanto não é garantido ser sempre infinito. Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
Se \beta é LI, então \vec v_3\notin\operatorname{span}\{\vec v_1,\vec v_2\}, de modo que o sistema x\vec v_1+y\vec v_2=\vec v_3 é incompatível (sem solução). Logo II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.”
S_{1} é o sistema homogêneo
x\vec v_1+y\vec v_2+z\vec v_3=\vec0.
Como \beta é LD, \rank[\vec v_1\;\vec v_2\;\vec v_3]\le2. Pelo teorema da dimensão do núcleo, o espaço de soluções tem dimensão
\dim\ker = 3 - \rank \ge 1,
logo há infinitas soluções não-triviais. Portanto III é verdadeira.

Passo 5

Das três afirmativas, apenas a III é verdadeira.

Resposta

H

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