Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
tem infinitas solução.
II - Se
é LI, então
tem solução única.
III - Se
é LD, então
tem infinitas soluções.
A) Apenas I e III são verdadeiras.
B) Todas são falsas.
C) Apenas II é verdadeira.
D) Apenas II e III são verdadeir as.
E) Apenas I e II são verdadeir as.
F) Todas são verdadeiras.
G) Apenas I é verdadeira.
H) Apenas III é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
A) Apenas I e III são verdadeiras.
B) Todas são falsas.
C) Apenas II é verdadeira.
D) Apenas II e III são verdadeir as.
E) Apenas I e II são verdadeir as.
F) Todas são verdadeiras.
G) Apenas I é verdadeira.
H) Apenas III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
e dois sistemas lineares:
é o sistema homogêneo
e
é o sistema não-homogêneo
isto é,
busca
tais que
.
O conteúdo usado será teoria de posto, dimensão do núcleo e condição de existência/infinitude de soluções.
O conteúdo usado será teoria de posto, dimensão do núcleo e condição de existência/infinitude de soluções.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se
é LD, então
tem infinitas soluções.”
Se é LD, existe alguma relação não-trivial
Se
o que implica que
, logo
é compatível. Mas o número de soluções depende do posto da matriz coeficiente
:
- Se , há solução única.
- Se
, há infinitas soluções.
Portanto não é garantido ser sempre infinito. Logo I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Se
é LI, então
tem solução única.”
Se é LI, então
, de modo que o sistema
é incompatível (sem solução). Logo II é falsa.
Se
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “Se
é LD, então
tem infinitas soluções.”
é o sistema homogêneo
Como
é LD,
. Pelo teorema da dimensão do núcleo, o espaço de soluções tem dimensão
logo há infinitas soluções não-triviais. Portanto III é verdadeira.
Passo 5
Das três afirmativas, apenas a III é verdadeira.
Resposta
H