Mostre que G=\{(x, a x)\}, onde \alpha \in \mathbb{R}, é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define
G = \{(x,\alpha x)\mid x\in\mathbb{R}\},
com \alpha\in\mathbb{R}, e pede para mostrar que G é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Para isso, vamos usar a caracterização padrão:
  1. G\neq\emptyset e contém o vetor zero.
  2. G é fechada sob soma de vetores.
  3. G é fechada sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero de \mathbb{R}^2 está em G. Basta escolher x=0. Então
(0,\alpha\cdot0) = (0,0),
que é o vetor zero. Logo 0\in G.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Sejam (x,\alpha x) e (y,\alpha y) em G. A soma é
(x,\alpha x) + (y,\alpha y) = (x+y,\;\alpha x + \alpha y).
Fatorando \alpha, obtemos
(x+y,\;\alpha(x+y)),
que é de novo um vetor em G, pois corresponde ao parâmetro x+y.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e (x,\alpha x)\in G. Então
\lambda\,(x,\alpha x) = (\lambda x,\;\lambda\alpha x) = (\lambda x,\;\alpha(\lambda x)),
que pertence a G com parâmetro \lambda x.

Resposta

Portanto, G contém o vetor zero, é fechada sob soma e sob multiplicação escalar, logo é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

Exercícios relacionados