Q3: Sabendo que o ponto (5,-6,-15, k) pertence ao plano (-1,2,-3,3)+\operatorname{span}\{(2,-3,-3,1),(1,-1,-3,-2)\}, assinale o valor de k :
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o plano
P = (-1,2,-3,3) + \operatorname{span}\{(2,-3,-3,1),\,(1,-1,-3,-2)\}
e pede o valor de k tal que o ponto (5,-6,-15,k) pertença a P. Para isso, vamos usar a ideia de que um ponto está no plano se e somente se o vetor que liga o ponto-base a esse ponto é combinação linear dos vetores do span.

Passo 2

Seja (5,-6,-15,k)\in P. Então existem escalares s e t tais que
(5,-6,-15,k) = (-1,2,-3,3) + s\,(2,-3,-3,1) + t\,(1,-1,-3,-2).
Subtraindo o ponto-base, obtemos o vetor
(5,-6,-15,k) - (-1,2,-3,3) = (6,-8,-12,k-3),
que deve satisfazer
s\,(2,-3,-3,1) + t\,(1,-1,-3,-2) = (6,-8,-12,k-3).
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} 2s + t = 6,\\\\ -3s - t = -8,\\\\ -3s -3t = -12,\\\ \;s -2t = k-3. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações:
2s + t = 6, \quad -3s - t = -8.
Somando-as vem
(2s + t) + (-3s - t) = 6 + (-8) \;\Rightarrow\;-s = -2 \;\Rightarrow\;s = 2.
Substituindo em 2s + t = 6
t = 6 - 2s = 6 - 4 = 2.
Verificamos que a terceira equação -3s -3t = -12 fica
-3\cdot 2 -3\cdot 2 = -6 -6 = -12,
ou seja, é consistente.

Passo 4

Usando s=2 e t=2 na quarta equação s -2t = k-3, temos
2 - 2\cdot 2 = k - 3 \;\Rightarrow\;2 - 4 = k - 3 \;\Rightarrow\;-2 = k - 3 \;\Rightarrow\;k = 1.

Resposta

(E) 1

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