Defina, mas não avalie, uma integral que representa o comprimento da curva.
x=t^2, y=1+4 t, 0 <= t <= 2

Passo 1

Temos uma curva paramétrica dada por x = t^2 e y = 1 + 4t no intervalo 0 <= t <= 2. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva paramétrica, que usa a fórmula L = integrala^b raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2,dt.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t: tfracdxdt = 2t e tfracdydt = 4.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco, o integrando fica:

Passo 4

Logo, a integral definida que representa o comprimento da curva de t=0 a t=2 é:
L = integral0^2 raiz4t^2 + 16 ,dt

Resposta

integral0^2 raiz4t^2 + 16 ,dt

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