Suponha que uma lâmina ocupe uma região
delimitada por círculos
e
, onde
.
Calcule a massa de
, se a função densidade é
.
Calcule a massa de
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma lâmina ocupando a região D entre os círculos x²+y²=1 e x²+y²=4 com y≥0, usando densidade ρ(x,y)=x²+y². O conteúdo é cálculo de integral dupla em coordenadas polares e vamos precisar converter ρ e o elemento de área para essas coordenadas.
Passo 2
Para usar coordenadas polares, fazemos x=r cosθ, y=r sinθ, em que x²+y²=r². O elemento de área dA vira r dr dθ (esse r extra é o jacobiano). Como y≥0, θ varia de 0 a π, e como 1≤r²≤4, r varia de 1 a 2.
Passo 3
Montamos a integral da massa M=∬_Dρ(x,y)dA passando a densidade e dA para polares:
[ M = ∫_{θ=0}^{π} ∫_{r=1}^{2} (r²)·® dr dθ = ∫_{0}^{π} ∫_{1}^{2} r³ dr dθ ]
[ M = ∫_{θ=0}^{π} ∫_{r=1}^{2} (r²)·® dr dθ = ∫_{0}^{π} ∫_{1}^{2} r³ dr dθ ]
Passo 4
Primeiro calculamos a integral em r:
[ ∫_{1}^{2} r³ dr = \frac{r⁴}{4} \Big|_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} ]
[ ∫_{1}^{2} r³ dr = \frac{r⁴}{4} \Big|_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} ]
Passo 5
Agora integramos em θ:
[ M = ∫_{0}^{π} \frac{15}{4} dθ = \frac{15}{4} · π = \frac{15π}{4} ]
[ M = ∫_{0}^{π} \frac{15}{4} dθ = \frac{15}{4} · π = \frac{15π}{4} ]
Resposta
\frac{15π}{4}