Suponha que uma lâmina ocupe uma região D delimitada por círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, onde y >= 0.
Calcule a massa de D, se a função densidade é rho(x, y)=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina ocupando a região D entre os círculos x²+y²=1 e x²+y²=4 com y≥0, usando densidade ρ(x,y)=x²+y². O conteúdo é cálculo de integral dupla em coordenadas polares e vamos precisar converter ρ e o elemento de área para essas coordenadas.

Passo 2

Para usar coordenadas polares, fazemos x=r cosθ, y=r sinθ, em que x²+y²=r². O elemento de área dA vira r dr dθ (esse r extra é o jacobiano). Como y≥0, θ varia de 0 a π, e como 1≤r²≤4, r varia de 1 a 2.

Passo 3

Montamos a integral da massa M=∬_Dρ(x,y)dA passando a densidade e dA para polares:
[ M = ∫_{θ=0}^{π} ∫_{r=1}^{2} (r²)·® dr dθ = ∫_{0}^{π} ∫_{1}^{2} r³ dr dθ ]

Passo 4

Primeiro calculamos a integral em r:
[ ∫_{1}^{2} r³ dr = \frac{r⁴}{4} \Big|_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} ]

Passo 5

Agora integramos em θ:
[ M = ∫_{0}^{π} \frac{15}{4} dθ = \frac{15}{4} · π = \frac{15π}{4} ]

Resposta

\frac{15π}{4}

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