Defina, mas não calcule, uma integral que representa a área da superfície obtida pela rotação da curva x=t^3, y=t^4, 0 <= t <= 1 em torno do eixo x.

Passo 1

A curva é dada por x(t)=t^3 e y(t)=t^4 para 0≤t≤1, e queremos a área de superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x. O conteúdo é área de superfície de revolução de uma curva paramétrica, e vamos precisar usar a fórmula S=∫2π·y·ds.

Passo 2

Para curvas paramétricas, a fórmula da área de superfície ao girar em torno do eixo x é
S=integrala^b2pi,y(t),raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 3

Calculando as derivadas da parametrização temos:
x'(t)=3t^2,
y'(t)=4t^3

Passo 4

O elemento de arco é
ds=raizl(3t^2r)^2+l(4t^3r)^2,dt=raiz9t^4+16t^6,dt

Passo 5

Substituindo y(t), x’(t) e y’(t) na fórmula de S, paramos na forma da integral definida sem resolver:

Resposta

S=integral0^12pi,t^4raiz9t^4+16t^6,dt

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