Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva fornecida em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x da curva parametrizada por
,
para
. O conteúdo envolvido é superfície de revolução de curvas paramétricas e vamos precisar da fórmula
, onde
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas
e
. Usando a regra do produto,
Passo 3
Em seguida, avaliamos
. Temos
logo
Passo 4
Agora montamos a integral da área:
Passo 5
Para calcular
, usamos a fórmula padrão
. Aqui
e
, então
Passo 6
Avaliaremos de 0 a
: em
dá
, e em
dá
. Assim
Passo 7
Por fim, substituímos em
: