Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva fornecida em torno do eixo x.
x=e^t cos t, y=e^t sen t, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x da curva parametrizada por x=e^tcos t, y=e^tsin t para 0<= t<=pi/2. O conteúdo envolvido é superfície de revolução de curvas paramétricas e vamos precisar da fórmula S=integrala^b2pi y(t),ds, onde ds=raiz(dx/dt)^2+(dy/dt)^2,dt.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas dx/dt e dy/dt. Usando a regra do produto,
dx/dt=ddt(e^tcos t)=e^tcos t - e^tsin t=e^t(cos t-sin t),
dy/dt=ddt(e^tsin t)=e^tsin t + e^tcos t=e^t(sin t+cos t),

Passo 3

Em seguida, avaliamos ds=raiz(dx/dt)^2+(dy/dt)^2,dt. Temos
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=e^2tl[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2r]=2e^2t,
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ds=raiz2e^2t,dt=raiz2,e^t,dt

Passo 4

Agora montamos a integral da área:
S=integral0^pi/22pi,y(t),ds=integral0^pi/22pil(e^tsin tr)l(raiz2,e^tr)dt=2piraiz2integral0^pi/2e^2tsin t,dt

Passo 5

Para calcular I=integral e^2tsin t,dt, usamos a fórmula padrão integral e^atsin(bt),dt=e^at(asin(bt)-bcos(bt))a^2+b^2. Aqui a=2 e b=1, então
I=e^2tl(2sin t-1cos tr)5

Passo 6

Avaliaremos de 0 a pi/2: em t=pi/2 e^pi(2cdot1-1cdot0)/5=2e^pi/5, e em t=0 1,(0-1)/5=-1/5. Assim
integral0^pi/2e^2tsin t,dt=2e^pi+15

Passo 7

Por fim, substituímos em S:
S=2piraiz2cdot2e^pi+15=2piraiz2,(2e^pi+1)5

Resposta

S=2piraiz2,(2e^pi+1)5

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