Defina, mas não avalie, uma integral que representa o comprimento da curva.
x=t sen t, y=t cos t, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

A curva é dada em parametrização por x(t)=t sen t e y(t)=t cos t para 0\le t\le \pi/2. O conteúdo necessário é comprimento de arco de uma curva paramétrica, e vamos usar a fórmula que diz que
cada comprimento de arco L=\int_a^b \sqrt{(dx/dt)2+(dy/dt)2},dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
dxdt=sin t + tcos t,
dydt=cos t - tsin t

Passo 3

Formamos a soma dos quadrados das derivadas:
l(sin t + tcos tr)^2 + l(cos t - tsin tr)^2 = sin^2 t + cos^2 t + t^2l(cos^2 t + sin^2 tr) = 1 + t^2

Passo 4

Substituímos na fórmula do comprimento de arco e obtemos a integral que representa o comprimento da curva, sem avaliá-la.

Resposta

[\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + t^2} , dt]

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