Encontre o comprimento da curva.
x=5 t^2+1, y=4-3 t^2, 0 <= t <= 2

Passo 1

A ideia é usar a fórmula do comprimento de curva paramétrica, que diz que
L=integralt=a^t=b raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2,dt
Aqui temos x=5t^2+1 e y=4-3t^2, com t variando de 0 a 2.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas em relação a t:
dxdt=10t, dydt=-6t
Isso vem da regra de derivação de potências.

Passo 3

Agora montamos o integrando:
raiz(10t)^2 +(-6t)^2 = raiz100t^2 +36t^2 = raiz136,t^2 = raiz136;t =2raiz34;t
Note que como t≥0, podemos tirar t de dentro da raiz sem valor absoluto.

Passo 4

Por fim, fazemos a integral:
L=integral0^22raiz34;t,dt =2raiz34integral0^2t,dt =2raiz34l[tfract^22r]0^2
L=2raiz34cdot 2^22 =2raiz34cdot 2 =4raiz34

Resposta

O comprimento da curva é 4raiz34.

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