Encontre o comprimento da curva.
x=2-3 sen^2 theta, y=cos 2 theta, 0 <= theta <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco da curva paramétrica dada por x=2-3sin^2theta e y=cos2theta no intervalo 0<=theta<=pi/2. O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica e vamos usar a fórmula
L=integral0^pi/2raizl(dxdthetar)^2+l(dydthetar)^2,dtheta

Passo 2

Primeiro a gente calcula dx/dtheta. Como x=2-3sin^2theta, aplicando a regra da cadeia, temos
dxdtheta=-3cdot 2sinthetacostheta=-6sinthetacostheta=-3sin2theta

Passo 3

Agora calculamos dy/dtheta. Para y=cos2theta, a derivada é
dydtheta=-2sin2theta

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento, o radical fica
raiz(-3sin2theta)^2+(-2sin2theta)^2= raiz9sin^2 2theta+4sin^2 2theta= raiz13sin^2 2theta= raiz13,|sin2theta|
Como em [0,pi/2] temos sin2theta>=0, isso vira raiz13,sin2theta.

Passo 5

Fazendo a integral, fica
L=raiz13integral0^pi/2sin2theta,dtheta =raiz13l[-tfrac12cos2thetar]0^pi/2 =raiz13l(-tfrac12(cospi-cos0)r) =raiz13cdot1 =raiz13

Resposta

raiz13

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