Encontre o comprimento da curva.
x=t^3, y=t^2, 0 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica definida por x=t^3 e y=t^2 no intervalo 0<= t<=4. O conteúdo aqui é comprimento de arco para curvas paramétricas, e vamos precisar usar a fórmula do comprimento L=integrala^braizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de x e y:
dxdt=3t^2,
dydt=2t
Então o integrando fica raiz(3t^2)^2+(2t)^2=raiz9t^4+4t^2.

Passo 3

Fatorando t^2 dentro da raiz, para t>=0 temos:
raiz9t^4+4t^2=raizt^2(9t^2+4)=traiz9t^2+4
Logo o comprimento é
L=integral0^4traiz9t^2+4,dt

Passo 4

Para resolver essa integral, usamos a substituição
u=9t^2+4,
du=18t,dt,Rightarrow,t,dt=du18
Quando t=0, u=4; quando t=4, u=148. A integral vira
L=integralu=4^148raizucdotdu18=118integral4^148u^1/2,du

Passo 5

Integrando:
118cdot[u^3/23/2]4^148 =118cdot23l(u^3/2r)gr|4^148 =127l(148^3/2-4^3/2r)
Como 148^3/2=148raiz148=296raiz37 e 4^3/2=8, obtemos o resultado.

Passo 6

A expressão final simplificada fica
L=296raiz37-827

Resposta

L=296raiz37-827.

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