Defina, mas não avalie, uma integral que representa o comprimento da curva.
Passo 1
O enunciado pede para definir, mas não calcular, a integral que dá o comprimento da curva paramétrica
e^{-t}, y = t e^{2t} no intervalo t\in[-1,1]. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica,
e vamos usar a fórmula
Para uma curva (x(t),y(t)) em [a,b], o comprimento é
e^{-t}, y = t e^{2t} no intervalo t\in[-1,1]. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica,
e vamos usar a fórmula
Para uma curva (x(t),y(t)) em [a,b], o comprimento é
Passo 2
Precisamos calcular as derivadas de x e y em relação a t. Derivando:
Para x(t)=e^{-t}, temos
Para x(t)=e^{-t}, temos
Para y(t)=t e^{2t}, usamos produto e exponencial:
Passo 3
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, a integral que define L é