Defina, mas não avalie, uma integral que representa o comprimento da curva.
x=e^-t, y=t e^2 t, -1 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para definir, mas não calcular, a integral que dá o comprimento da curva paramétrica
e^{-t}, y = t e^{2t} no intervalo t\in[-1,1]. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica,
e vamos usar a fórmula
Para uma curva (x(t),y(t)) em [a,b], o comprimento é
L = integrala^b raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2 ,dt

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas de x e y em relação a t. Derivando:
Para x(t)=e^{-t}, temos
x'(t) = -e^-t
Para y(t)=t e^{2t}, usamos produto e exponencial:
y'(t) = e^2t + 2t e^2t = e^2t(1 + 2t)

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, a integral que define L é
L = integral-1^1 raiz(-e^-t)^2 + l(e^2t(1+2t)r)^2,dt

Resposta

L = integral-1^1 raize^-2t + e^4t(1+2t)^2,dt

Exercícios relacionados