Seja E o sólido que está entre os cilindros circulares x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, abaixo do parabolóide z=1+x^2+y^2 e asima do plano z=0.
Faça um esboço de E.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sólido E definido por 1≤x²+y²≤4, 0≤z≤1+x²+y². O conteúdo é geometria de regiões em coordenadas cilíndricas e superfícies quádricas. Vamos usar cilindros (x²+y²=const), o plano z=0 e o paraboloide z=1+r² para montar o esboço.

Passo 2

Projete E no plano xy: fica um anel (ou faixa) entre r=1 e r=2, ou seja, a região no plano z=0 limitada pelos círculos x²+y²=1 e x²+y²=4.
As paredes laterais de E são os cilindros x²+y²=1 e x²+y²=4, estendendo-se da base z=0 até o topo dado pelo paraboloide.

Passo 3

A base de E é o disco anular no plano z=0. O teto de E é a parte do paraboloide z=1+r² sobre esse anel.

Passo 4

Para esboçar em 3D: desenhe os eixos x,y,z; no plano z=0 faça o anel entre r=1 e r=2; levante paredes verticais nesses círculos; em seguida, represente em estilo leve a superfície parabólica subindo de altura z=1+r² de r=1 (z=2) até r=2 (z=5) e limite o sólido por essa superfície.
No desenho, sombreie ou trace linhas de contorno para mostrar que a região está “presa” entre a base plana e o teto parabólico, e entre os dois cilindros cilíndricos.

Resposta

O esboço consiste num anel cilíndrico (1≤r≤2) sobre o plano z=0, com paredes verticais em r=1 e r=2 e teto curvo dado pelo paraboloide z=1+r², variando de z=2 (em r=1) até z=5 (em r=2).

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