Encontre o comprimento da curva.
x=3 t-t^3, y=3 t^2, 0 <= t <= 2

Passo 1

A curva é dada por x=3t-t^3 e y=3t^2 para 0<= t<=2. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica, que usa a fórmula
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas:
dxdt=3-3t^2,
dydt=6t
Isso nos dá as taxas de variação de x e y em função de t.

Passo 3

Agora montamos a integral do comprimento:
L=integral0^2raiz(3-3t^2)^2+(6t)^2,dt

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(3-3t^2)^2+(6t)^2=9(1-2t^2+t^4)+36t^2=9+18t^2+9t^4=9(1+t^2)^2
Logo,
raiz(3-3t^2)^2+(6t)^2=3(1+t^2)

Passo 5

Substituindo na integral, temos
L=integral0^23(1+t^2),dt=3integral0^2(1+t^2),dt=3l[t+t^33r]0^2=3l(2+tfrac83r)

Resposta

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