Defina, mas não avalie, uma integral que representa o comprimento da curva.
x=t^3, y=t^4, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva parametrizada por x = t^3 e y = t^4 para 0 <= t <= 1. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curvas paramétricas e vamos precisar da fórmula de arco de uma curva dada por x(t) e y(t).

Passo 2

Para usar a fórmula de comprimento de arco, primeiro calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt = 3t^2,
dydt = 4t^3

Passo 3

A fórmula geral para o comprimento de arco L de uma curva paramétrica (x(t),y(t)) de t=a até t=b é
L = integrala^b raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2,dt

Passo 4

Substituindo dx/dt e dy/dt na fórmula, obtemos o integral que representa o comprimento da curva:
Simplificando dentro da raiz, temos
l(3t^2r)^2 + l(4t^3r)^2 = 9t^4 + 16t^6 = t^4(9 + 16t^2),
e assim a integral fica pronta para ser definida.

Resposta

L = integral0^1 raiz9t^4 + 16t^6,dt = integral0^1 t^2raiz9 + 16t^2,dt

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