Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
summ=1^infty sin ^m(1raizm)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar os testes da razão ou da raiz para descobrir se a série summ=1^infty sin^m(1raizm) converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicamos esses testes e verificar se algum deles dá uma resposta clara.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os testes da razão e da raiz:
  • Teste da Razão: Para uma série sum am, calculamos o limite L = limm to infty | am+1am |. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.
  • Teste da Raiz: Para uma série sum am, calculamos o limite L = limm to infty raiz[m]|am|. As conclusões são as mesmas do teste da razão.
Vamos tentar aplicar o teste da raiz nesse caso.

Passo 3

Nosso termo geral é am = sin^m(1raizm). Vamos calcular o limite usando o teste da raiz:
L = limm to infty raiz[m]sin^m(1raizm) = limm to infty sin(1raizm)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite limm to infty sin(1raizm). Sabemos que, para valores pequenos de x, sin(x) approx x. Então:
sin(1raizm) approx 1raizm
Portanto, o limite fica:
L = limm to infty 1raizm = 0

Passo 5

Segundo o teste da raiz, se L < 1, a série converge absolutamente. Aqui, L = 0, que é menor que 1. Isso nos diz que a série summ=1^infty sin^m(1raizm) converge.

Resposta

A série summ=1^infty sin^m(1raizm) converge pelo teste da raiz, já que o limite L = 0 < 1.

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