Defina o operador de momento angular L=(Lx, Ly, Lz), onde as componentes são dadas por
Lx=-i(y partialpartial z-z partialpartial y),
Ly=-i(z partialpartial x-x partialpartial z),
Lz=-i(x partialpartial y-y partialpartial x).
Mostre que L=-i r times nabla;

Passo 1

Resumo: queremos mostrar que o operador de momento angular dado por Lx=-il(ytfracpartialpartial z-ztfracpartialpartial yr), Ly=-il(ztfracpartialpartial x-xtfracpartialpartial zr) e Lz=-il(xtfracpartialpartial y-ytfracpartialpartial xr) pode ser escrito de forma compacta como L=-i,rtimesnabla. Para isso vamos usar o conceito de produto vetorial e a definição do operador nabla.

Passo 2

Vamos lembrar que o vetor posição e o operador nabla são definidos por
r=(x,y,z),
nabla=(partialpartial x,partialpartial y,partialpartial z)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial rtimesnabla componente a componente usando a regra do determinante:
rtimesnabla= gl( ypartialpartial z-zpartialpartial y, zpartialpartial x-xpartialpartial z, xpartialpartial y-ypartialpartial x gr)

Passo 4

Multiplicando cada componente por -i, obtemos
-i,(rtimesnabla)= l( -il(ytfracpartialpartial z-ztfracpartialpartial yr), -il(ztfracpartialpartial x-xtfracpartialpartial zr), -il(xtfracpartialpartial y-ytfracpartialpartial xr) r),
que coincide exatamente com (Lx,Ly,Lz). Portanto chegamos à forma vetorial desejada.

Resposta

L=-i,rtimesnabla

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