Defina o operador de momento angular L=(Lx, Ly, Lz), onde as componentes são dadas por
Lx=-i(y partialpartial z-z partialpartial y),
Ly=-i(z partialpartial x-x partialpartial z),
Lz=-i(x partialpartial y-y partialpartial x).
Mostre que Lx Ly-Ly Lx=i Lz, Lz Lx-Lx Lz=i Ly, e que Ly Lz-Lz Ly=i Lx.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: a questão pede para mostrarmos as relações de comutação dos operadores de momento angular definidos em coordenadas cartesianas, ou seja, calcular [L_x,L_y], [L_z,L_x] e [L_y,L_z]. Vamos usar a definição de comutador [A,B]=AB-BA, a expressão em derivadas parciais de cada Li e a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Cálculo de [L_x,L_y] agindo em uma função teste: seja f(x,y,z). Usamos
Lx=-il(y,partialz - z,partialyr), Ly=-il(z,partialx - x,partialzr)

Passo 3

Expandimos
LxLyf = (-i)^2l(y,partialz - z,partialyr)l(z,partialx - x,partialzr)f = -l(y,partialz - z,partialyr)l(z,partialx - x,partialzr)f,
LyLxf = -l(z,partialx - x,partialzr)l(y,partialz - z,partialyr)f
Usamos a regra do produto em cada termo e somamos LxLyf - LyLxf. Muitos termos se cancelam e o que sobra é
[Lx,Ly]f = il(x,partialy - y,partialxr)f = i,Lz f
Portanto concluímos
[Lx,Ly] = i,Lz

Passo 4

Pela simetria cíclica das definições (trocando xto yto z), obtemos analogamente
[Lz,Lx] = i,Ly,
e
[Ly,Lz] = i,Lx

Resposta

[L_x,L_y]=iL_z, [L_z,L_x]=iL_y, [L_y,L_z]=iL_x

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