Defina o operador de momento angular
, onde as componentes são dadas por
,
,
.
Mostre que
, e que
.
Mostre que
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: a questão pede para mostrarmos as relações de comutação dos operadores de momento angular definidos em coordenadas cartesianas, ou seja, calcular [L_x,L_y], [L_z,L_x] e [L_y,L_z]. Vamos usar a definição de comutador
, a expressão em derivadas parciais de cada
e a regra do produto para derivadas.
Passo 2
Cálculo de [L_x,L_y] agindo em uma função teste: seja
. Usamos
Passo 3
Expandimos
Usamos a regra do produto em cada termo e somamos
Portanto concluímos
Passo 4
Pela simetria cíclica das definições (trocando
), obtemos analogamente
e
Resposta
[L_x,L_y]=iL_z, [L_z,L_x]=iL_y, [L_y,L_z]=iL_x