Prove que nabla times(phi nabla phi)=0, onde phi é um campo escalar diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para provar que o rotacional de phi,nablaphi é zero, onde phi é um campo escalar diferenciável. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, especificamente operações com o operador nabla: o rotacional (curl) e o gradiente (gradient). Para resolver, vamos precisar da regra do produto para o rotacional e das propriedades de que o rotacional de um gradiente é zero e que o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero.

Passo 2

Usamos a identidade do cálculo vetorial
nabla times (f, A) = (nabla f) times A + f,(nabla times A)
Aplicando com f=phi e A=nablaphi, obtemos
nabla times (phi,nablaphi) = (nablaphi) times (nablaphi) + phi,(nabla times nablaphi)

Passo 3

Agora basta notar duas coisas:
  1. (nablaphi) times (nablaphi)=0, pois qualquer vetor cruz consigo mesmo dá vetor nulo.
  2. nabla times nablaphi=0, pois o rotacional de um gradiente é sempre zero.
    Somando esses dois termos, concluímos que
nabla times (phi,nablaphi)=0

Resposta

0

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