Prove que
, onde
é um campo escalar diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para provar que o rotacional de
é zero, onde
é um campo escalar diferenciável. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, especificamente operações com o operador nabla: o rotacional (curl) e o gradiente (gradient). Para resolver, vamos precisar da regra do produto para o rotacional e das propriedades de que o rotacional de um gradiente é zero e que o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero.
Passo 2
Usamos a identidade do cálculo vetorial
Aplicando com
e
, obtemos
Passo 3
Agora basta notar duas coisas:
-
, pois qualquer vetor cruz consigo mesmo dá vetor nulo. -
, pois o rotacional de um gradiente é sempre zero.
Somando esses dois termos, concluímos que