Defina os operadores criação (a+) e aniquilação (a-) para o oscilador harmônico e mostre que
(i.) H a|nrang<==(En-hbar omega) a|nrang<= e H a^dag>=r|nrang<==(En+hbar omega) a^dag>=r|nrang<=.
(ii.) a|nrang<==raizn|n-1rang<= e a^dag>=r|nrang<==raizn+1|n+1rang<=.

Passo 1

O exercício pede para a gente usar os operadores criação H,a|nrang<==(En-hbaromega),a|nrang<=, H,a^dag>=r|nrang<==(En+hbaromega),a^dag>=r|nrang<= e aniquilação a|nrang<==raizn,|n-1rang<=, a^dag>=r|nrang<==raizn+1,|n+1rang<= do oscilador harmônico e mostrar duas coisas:
• (i) Como o Hamiltoniano age em e em , dando
• (ii) Que esses operadores “sobem” ou “descem” o número quântico :
Conteúdo: Hamiltoniano , comutadores e normalização de estados. Vamos precisar calcular e achar constantes de normalização.

Passo 2

Calcular o comutador H=hbaromegal(a^dag>=r a+tfrac12r), . Como
[H,a] =hbaromega,[a^dag>=r a,a] =hbaromegal(a^dag>=r[a,a]+[a^dag>=r,a],ar) =hbaromegal(0 -1cdot ar) =-hbaromega,a,
temos
H,a = a,H + [H,a] = a,H - hbaromega,a
pois e . Isso significa que

Passo 3

Agora atuamos em Hl(a|nrang<=r) =(a,H -hbaromega,a),|nrang<= =a,(En|nrang<=)-hbaromega,a|nrang<= =(En-hbaromega),a|nrang<= , que é autovetor de H,a^dag>=r|nrang<==(En+hbaromega),a^dag>=r|nrang<= com :
De modo análogo, usa-se para chegar em

Passo 4

Como a|nrang<==cn,|n-1rang<= tem níveis igualmente espaçados lang<= n|a^dag>=r a|nrang<= =lang<= n|N|nrang<= =n, , a energia de é
. Logo é proporcional a :
Para achar , usamos a norma:
mas . Como escolhemos fases reais, .

Passo 5

De forma igual, para o operador criação:
a^dag>=r|nrang<==c'n,|n+1rang<=,
e
lang<= n|a,a^dag>=r|nrang<= =lang<= n|(N+1)|nrang<= =n+1 =l|c'nr|^2 ;Longrightarrow; c'n=raizn+1

Resposta

(i.) e .
(ii.) e .

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