Defina os operadores criação e aniquilação para o oscilador harmônico e mostre que
(i.) e .
(ii.) e .
Passo 1
O exercício pede para a gente usar os operadores criação e aniquilação do oscilador harmônico e mostrar duas coisas:
• (i) Como o Hamiltoniano age em e em , dando
• (ii) Que esses operadores “sobem” ou “descem” o número quântico :
Conteúdo: Hamiltoniano , comutadores e normalização de estados. Vamos precisar calcular e achar constantes de normalização.
Passo 2
Calcular o comutador . Como
temos
pois e . Isso significa que
Passo 3
Agora atuamos em , que é autovetor de com :
De modo análogo, usa-se para chegar em
Passo 4
Como tem níveis igualmente espaçados , a energia de é . Logo é proporcional a :