Defina
.
(a) Mostre que
.
(b) Deduza que
.
(c) Prove por indução que
.
(d) Deduza que
.
(e) Prove a seguinte relação.
(a) Mostre que
(b) Deduza que
(c) Prove por indução que
(d) Deduza que
(e) Prove a seguinte relação.
Passo 1
O enunciado define as funções hiperbólicas
e
,
e pede para mostrar a identidade de duplicação em (a), depois usar essa identidade em (b), estendê-la por indução em (c), passar ao limite em (d) e, finalmente, obter a fatoração infinita em (e). Vamos usar manipulações com exponenciais e propriedades de limites.
e pede para mostrar a identidade de duplicação em (a), depois usar essa identidade em (b), estendê-la por indução em (c), passar ao limite em (d) e, finalmente, obter a fatoração infinita em (e). Vamos usar manipulações com exponenciais e propriedades de limites.
Passo 2
Para (a), calculamos diretamente
e reconhecemos que
e
, logo
Passo 3
Para (b), basta deixar
na identidade de (a). Assim, com
,
Dividindo ambos os lados por
dá
Passo 4
Para (c), usemos indução em
.
Base : é exatamente o resultado de (b).
Passo indutivo: suponha
Base
Passo indutivo: suponha
Aplicando (b) à fração
com
, obtemos
Logo
que é o enunciado para
. Isso conclui a indução.
Passo 5
Para (d), note que
quando
, ou seja
Tomando o limite
na fórmula de (c) fica
ou seja
Passo 6
Para (e), defina
e escreva
. Então
Observemos a fatoração
então
Repetindo esse passo
vezes, obtemos
Como
e
quando
, ao fazer
a primeira fração tende a 1, restando
Resposta
(a)
.
(b) .
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)