Defina \operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2} \mathrm{e} \operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
(a) Mostre que \operatorname{sinh} 2 s=2 \operatorname{sinh} s \operatorname{cosh} s.
(b) Deduza que \frac{\operatorname{sinh} t}{t}=\operatorname{cosh} \left(\frac{t}{2}\right) \frac{\operatorname{sinh} \left(\frac{t}{2}\right)}{\frac{t}{2}}.
(c) Prove por indução que \frac{\operatorname{sinh} t}{t}=\left(\prod_{k=1}^{n}\left(\operatorname{cosh} \left(\frac{t}{2^{k}}\right)\right)\right) \frac{\operatorname{sinh} \left(\frac{t}{2^{n}}\right)}{\frac{t}{2^{n}}}.
(d) Deduza que t=\frac{\operatorname{sinh} t}{\left(\prod_{k=1}^{\infty} \operatorname{cosh} \left(\frac{t}{2^{k}}\right)\right)}.
(e) Prove a seguinte relação.
\frac{\log x}{x-1}=\frac{2}{1+x^{\frac{1}{2}}} \times \frac{2}{1+x^{\left(\frac{1}{2^{2}}\right)}} \times \ldots \times \frac{2}{1+x^{\left(\frac{1}{2^{k}}\right)}} \times \ldots

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas \displaystyle \operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2} e \displaystyle \operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2},
e pede para mostrar a identidade de duplicação em (a), depois usar essa identidade em (b), estendê-la por indução em (c), passar ao limite em (d) e, finalmente, obter a fatoração infinita em (e). Vamos usar manipulações com exponenciais e propriedades de limites.

Passo 2

Para (a), calculamos diretamente
\sinh2s=\frac{e^{2s}-e^{-2s}}{2} =\frac{(e^{s})^2-(e^{-s})^2}{2} =\frac{(e^{s}-e^{-s})(e^{s}+e^{-s})}{2} =\biggl(\frac{e^{s}-e^{-s}}{2}\biggr)\,(e^{s}+e^{-s})
e reconhecemos que \tfrac{e^{s}-e^{-s}}{2}=\operatorname{sinh} s e \tfrac{e^{s}+e^{-s}}{2}=\operatorname{cosh} s, logo
\sinh2s=2\,\operatorname{sinh} s\,\operatorname{cosh} s.

Passo 3

Para (b), basta deixar 2s=t na identidade de (a). Assim, com s=t/2,
\operatorname{sinh} t=\operatorname{sinh}(2\cdot\tfrac{t}{2}) =2\,\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).
Dividindo ambos os lados por t
\frac{\operatorname{sinh} t}{t} =\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}.

Passo 4

Para (c), usemos indução em n.
Base n=1: é exatamente o resultado de (b).
Passo indutivo: suponha
\frac{\operatorname{sinh} t}{t} =\Bigl(\prod_{k=1}^{n}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)\Bigr)\, \frac{\operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2^{n}})}{\tfrac{t}{2^{n}}}.
Aplicando (b) à fração \operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2^{n}})/(\tfrac{t}{2^{n}}) com t\to t/2^{n}, obtemos
\frac{\operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2^{n}})}{\tfrac{t}{2^{n}}} =\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{n+1}}\bigr)\, \frac{\operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2^{n+1}})}{\tfrac{t}{2^{n+1}}}.
Logo
\frac{\operatorname{sinh} t}{t} =\Bigl(\prod_{k=1}^{n}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)\Bigr)\, \operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{n+1}}\bigr)\, \frac{\operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2^{n+1}})}{\tfrac{t}{2^{n+1}}},
que é o enunciado para n+1. Isso conclui a indução.

Passo 5

Para (d), note que \operatorname{sinh} x\sim x quando x\to0, ou seja
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2^{n}})}{\tfrac{t}{2^{n}}}=1.
Tomando o limite n\to\infty na fórmula de (c) fica
\frac{\operatorname{sinh} t}{t} =\prod_{k=1}^{\infty}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr),
ou seja
t=\frac{\operatorname{sinh} t}{\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)}.

Passo 6

Para (e), defina x>0 e escreva t=\ln x. Então
\frac{\ln x}{x-1} =\frac{t}{e^{t}-1}.
Observemos a fatoração
x-1 =(e^{t/2}-1)(e^{t/2}+1),
então
\frac{t}{e^{t}-1} =\frac{2\,\ln(e^{t/2})}{(e^{t/2}-1)(e^{t/2}+1)} =\frac{\ln x^{1/2}}{x^{1/2}-1}\;\frac{2}{1+x^{1/2}}.
Repetindo esse passo k vezes, obtemos
\frac{\ln x}{x-1} =\frac{\ln x^{1/2^{k}}}{x^{1/2^{k}}-1} \;\prod_{j=1}^{k}\frac{2}{1+x^{1/2^{j}}}.
Como x^{1/2^{k}}\to1 e \ln u/(u-1)\to1 quando u\to1, ao fazer k\to\infty a primeira fração tende a 1, restando
\frac{\ln x}{x-1} =\prod_{j=1}^{\infty}\frac{2}{1+x^{1/2^{j}}}.

Resposta

(a) \sinh2s=2\operatorname{sinh} s\operatorname{cosh} s.
(b) \displaystyle \frac{\operatorname{sinh} t}{t}=\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}.
(c) \displaystyle \frac{\operatorname{sinh} t}{t} =\biggl(\prod_{k=1}^{n}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)\biggr)\, \frac{\operatorname{sinh}(\tfrac{t}{2^{n}})}{\tfrac{t}{2^{n}}}.
(d) \displaystyle t =\frac{\operatorname{sinh} t}{\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)}.
(e) \displaystyle \frac{\ln x}{x-1} =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{2}{1+x^{1/2^{k}}}.

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