1. O movimento transiente axissimétrico de um fluido viscoso em um cilindro circular infinitamente longo de raio a é governado pela equação diferencial
\frac{\partial u}{\partial t}=\nu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}-\frac{u}{r^{2}}\right), \quad 0 \leq r \leq a, t>0
em que u(r, t) é a velocidade tangencial do fluido e \nu é a viscosidade cinemática do fluido. Considerando que o cilindro está inicialmente em repouso em t=0, e então começa a rodar com velocidade angular \Omega, temos que as condições de fronteira para este caso são dadas por
\begin{aligned} & u(a, t)=a \Omega, \quad t>0 \\\ & u(r, 0)=0, \quad 0 \leq r \leq a \end{aligned}
Determine a solução do problema de valor inicial e de fronteira.

Passo 1

O enunciado descreve o escoamento transiente azissimétrico de um fluido viscoso em um cilindro infinito de raio a. A velocidade tangencial u(r,t) satisfaz a equação de difusão em coordenadas cilíndricas de ordem um,
\frac{\partial u}{\partial t} =\nu\Bigl(\frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}} +\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} -\frac{u}{r^{2}}\Bigr),
com as condições
u(a,t)=a\Omega,\quad t>0,
u(r,0)=0,\quad 0\le r\le a.
Para resolver, vamos achar primeiro o estado estacionário, depois escrever u como soma de uma parte estacionária e uma parte transiente homogênea, usar separação de variáveis e expandir em série de funções de Bessel de ordem 1.

Passo 2

Encontramos a solução estacionária u_{s}(r) fazendo \partial u/\partial t=0. Isso leva à ODE
u_{s}''+\frac{1}{r}u_{s}'-\frac{u_{s}}{r^{2}}=0.
Essa é a forma de Bessel de ordem 1, cuja solução geral é
u_{s}(r)=C_{1}r + C_{2}\frac{1}{r}.
Para manter finitude em r=0 impomos C_{2}=0 e, pela condição u_{s}(a)=a\Omega, obtemos
u_{s}(r)=\Omega\,r.

Passo 3

Definimos a parte transiente homogênea
w(r,t)=u(r,t)-u_{s}(r)
que satisfaz
\frac{\partial w}{\partial t} =\nu\Bigl(w_{rr}+\frac{1}{r}w_{r}-\frac{w}{r^{2}}\Bigr),
com w(a,t)=0 e
w(r,0)=u(r,0)-\Omega r=-\Omega r.

Passo 4

Aplicando separação de variáveis w(r,t)=R(r)T(t), obtemos
\frac{T'}{\nu T}=-\lambda^{2}, \quad R''+\frac{1}{r}R'-\frac{R}{r^{2}}+\lambda^{2}R=0.
A equação radial é a equação de Bessel de ordem 1, com soluções R(r)=J_{1}(\lambda r). A condição homogênea w(a,t)=0 exige
J_{1}(\lambda a)=0,
ou seja \lambda=\lambda_{n}=\alpha_{n}/a, onde \alpha_{n} é o n-ésimo zero positivo de J_{1}.

Passo 5

Assim
w(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,J_{1}\!\bigl(\lambda_{n}r\bigr)\, \exp\bigl(-\nu\lambda_{n}^{2}t\bigr).
Para determinar A_{n}, usamos a condição inicial w(r,0)=-\Omega r e a ortogonalidade
\int_{0}^{a}r\,J_{1}(\lambda_{n}r)\,J_{1}(\lambda_{m}r)\,dr =\frac{a^{2}}{2}\bigl[J_{2}(\alpha_{n})\bigr]^{2}\delta_{mn}.

Passo 6

Calculando A_{n}:
A_{n} =\frac{\displaystyle \int_{0}^{a}(-\Omega r)\,r\,J_{1}(\lambda_{n}r)\,dr} {\displaystyle \frac{a^{2}}{2}[J_{2}(\alpha_{n})]^{2}} =-\frac{2}{a\,\lambda_{n}\,J_{2}(\alpha_{n})} =-\frac{2}{\alpha_{n}\,J_{2}(\alpha_{n})}.
Logo
w(r,t) =-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{J_{1}(\alpha_{n}\,r/a)} {\alpha_{n}\,J_{2}(\alpha_{n})} \exp\!\Bigl(-\frac{\alpha_{n}^{2}\,\nu\,t}{a^{2}}\Bigr).

Passo 7

Voltando a u(r,t)=u_{s}(r)+w(r,t), temos a solução completa:
u(r,t) =\Omega\,r -2\,\Omega\,a \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_{1}\bigl(\alpha_{n}\,\tfrac{r}{a}\bigr)} {\alpha_{n}\,J_{2}(\alpha_{n})} \exp\!\Bigl(-\frac{\alpha_{n}^{2}\,\nu\,t}{a^{2}}\Bigr),
em que \alpha_{n} são os zeros de J_{1}(\alpha)=0.

Resposta

u(r,t) =\Omega\,r -2\,\Omega\,a \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_{1}\bigl(\alpha_{n}\,\tfrac{r}{a}\bigr)} {\alpha_{n}\,J_{2}(\alpha_{n})} \exp\!\Bigl(-\frac{\alpha_{n}^{2}\,\nu\,t}{a^{2}}\Bigr),
onde \alpha_{n} são os zeros positivos de J_{1}(\alpha_{n})=0.

Exercícios relacionados