- O movimento transiente axissimétrico de um fluido viscoso em um cilindro circular infinitamente longo de raio
é governado pela equação diferencial
em que
é a velocidade tangencial do fluido e
é a viscosidade cinemática do fluido. Considerando que o cilindro está inicialmente em repouso em
, e então começa a rodar com velocidade angular
, temos que as condições de fronteira para este caso são dadas por
Determine a solução do problema de valor inicial e de fronteira.
Passo 1
O enunciado descreve o escoamento transiente azissimétrico de um fluido viscoso em um cilindro infinito de raio
. A velocidade tangencial
satisfaz a equação de difusão em coordenadas cilíndricas de ordem um,
com as condições
Para resolver, vamos achar primeiro o estado estacionário, depois escrever
como soma de uma parte estacionária e uma parte transiente homogênea, usar separação de variáveis e expandir em série de funções de Bessel de ordem 1.
Passo 2
Encontramos a solução estacionária
fazendo
. Isso leva à ODE
Essa é a forma de Bessel de ordem 1, cuja solução geral é
Para manter finitude em
impomos
e, pela condição
, obtemos
Passo 3
Definimos a parte transiente homogênea
que satisfaz
com
e
Passo 4
Aplicando separação de variáveis
, obtemos
A equação radial é a equação de Bessel de ordem 1, com soluções
. A condição homogênea
exige
ou seja
, onde
é o
-ésimo zero positivo de
.
Passo 5
Assim
Para determinar
, usamos a condição inicial
e a ortogonalidade
Passo 6
Calculando
:
Logo
Passo 7
Voltando a
, temos a solução completa:
em que
são os zeros de
.
Resposta
onde
são os zeros positivos de
.