defina P como P=23 para resolver as questões de 1 a 4 .
Use o método dos multiplicadores de Lagrange e determine três números reais cuja soma seja P e o produto seja máxima.

Passo 1

O enunciado fixa P=23 e pede: encontrar três números reais cuja soma seja P e cujo produto seja máximo. Informações dadas:
P=23.
Pergunta: quais são os três números reais x,y,z tais que
x+y+z=23
e o produto xyz é máximo?

Passo 2

Vamos formalizar. Seja a função objetivo (produto)
f(x,y,z)=xyz,
com a restrição (soma fixa)
g(x,y,z)=x+y+z-23=0.
Queremos encontrar pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que maximizem f sob a restrição g=0.

Passo 3

Método dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos o multiplicador \lambda e a função lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=xyz-\lambda(x+y+z-23).
As condições de estacionaridade são as equações \nabla\mathcal{L}=0, ou seja, as derivadas parciais anuladas:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=yz-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=xz-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=xy-\lambda=0,
além da condição de restrição
x+y+z=23.

Passo 4

Das três equações yz=\lambda, xz=\lambda, xy=\lambda obtemos igualdades entre produtos:
yz=xz \quad\Rightarrow\quad z(y-x)=0,
yz=xy \quad\Rightarrow\quad y(z-x)=0,
xz=xy \quad\Rightarrow\quad x(z-y)=0.
Essas igualdade implicam que, em qualquer solução, pelo menos duas das variáveis são iguais ou alguma variável é zero. Vamos examinar os casos relevantes.

Passo 5

Caso A — pelo menos uma variável é zero. Suponha, por exemplo, z=0. Da restrição segue x+y=23 e o produto xyz=0. Produtos iguais a zero não podem ser candidatos ao máximo global se houver configurações com produto positivo maior que zero. Guardamos essa possibilidade (produto 0).
Caso B — nenhuma variável é zero. Então das igualdades acima segue que x=y=z. Usando a restrição,
x+y+z=3x=23 \quad\Rightarrow\quad x=y=z=\frac{23}{3}.
Portanto obtemos um ponto crítico \displaystyle\left(\frac{23}{3},\frac{23}{3},\frac{23}{3}\right). O produto nesse ponto é
f\!\left(\frac{23}{3},\frac{23}{3},\frac{23}{3}\right)=\left(\frac{23}{3}\right)^3.

Passo 6

Agora precisamos verificar se esse ponto crítico é de fato o máximo global. Atenção importante: o domínio é o conjunto de todos os números reais. Vamos mostrar que o produto não tem máximo global em \mathbb{R}^3 com a soma fixa — ou seja, pode crescer arbitrariamente.
Considere a família de tripletas parametrizada por t>0:
y(t)=-t,\qquad z(t)=-t,\qquad x(t)=23+2t.
Verificamos a restrição:
x(t)+y(t)+z(t)=(23+2t)-t-t=23.
O produto é
f(t)=x(t)y(t)z(t)=(23+2t)(-t)(-t)=t^2(23+2t)=2t^3+23t^2.
Quando t\to+\infty temos f(t)\to+\infty. Portanto o produto pode crescer arbitrariamente, logo não existe máximo global sobre todos os números reais. Em particular o ponto crítico x=y=z=\frac{23}{3} não é máximo global; é apenas um ponto crítico (de fato um máximo local sob certas restrições, ver próximo passo).

Passo 7

Comentário didático final e alternativa útil: se o problema tivesse imposto que os três números fossem não-negativos (ou reais e buscássemos o máximo entre números não-negativos), então o teorema da média aritmética-geométrica (AM-GM) dá diretamente que, para x,y,z\ge 0 com x+y+z=23,
xyz \le \left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=\left(\frac{23}{3}\right)^3,
com igualdade exatamente quando x=y=z=\frac{23}{3}. Assim, entre os não-negativos o máximo existe e é alcançado quando os três são iguais. Mas, repetindo, sem a restrição de não-negatividade o produto não tem máximo global.

Resposta

x=y=z=\dfrac{23}{3}.\n
Não existe máximo global para o produto quando permitimos números reais arbitrários (o produto é arbitrariamente grande; por exemplo, com y=z=-t e x=23+2t temos xyz=2t^3+23t^2\to\infty quando t\to\infty).

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