defina
como
para resolver as questões de 1 a 4 .
Use o método dos multiplicadores de Lagrange e determine três números reais cuja soma seja
e o produto seja máxima.
Use o método dos multiplicadores de Lagrange e determine três números reais cuja soma seja
Passo 1
O enunciado fixa
e pede: encontrar três números reais cuja soma seja
e cujo produto seja máximo. Informações dadas:
Pergunta: quais são os três números reais
tais que
e o produto
é máximo?
Passo 2
Vamos formalizar. Seja a função objetivo (produto)
com a restrição (soma fixa)
Queremos encontrar pontos
que maximizem
sob a restrição
.
Passo 3
Método dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos o multiplicador
e a função lagrangiana
As condições de estacionaridade são as equações
, ou seja, as derivadas parciais anuladas:
além da condição de restrição
Passo 4
Das três equações
,
,
obtemos igualdades entre produtos:
Essas igualdade implicam que, em qualquer solução, pelo menos duas das variáveis são iguais ou alguma variável é zero. Vamos examinar os casos relevantes.
Passo 5
Caso A — pelo menos uma variável é zero. Suponha, por exemplo,
. Da restrição segue
e o produto
. Produtos iguais a zero não podem ser candidatos ao máximo global se houver configurações com produto positivo maior que zero. Guardamos essa possibilidade (produto
).
Caso B — nenhuma variável é zero. Então das igualdades acima segue que
. Usando a restrição,
Portanto obtemos um ponto crítico
. O produto nesse ponto é
Passo 6
Agora precisamos verificar se esse ponto crítico é de fato o máximo global. Atenção importante: o domínio é o conjunto de todos os números reais. Vamos mostrar que o produto não tem máximo global em
com a soma fixa — ou seja, pode crescer arbitrariamente.
Considere a família de tripletas parametrizada por
:
Verificamos a restrição:
O produto é
Quando
temos
. Portanto o produto pode crescer arbitrariamente, logo não existe máximo global sobre todos os números reais. Em particular o ponto crítico
não é máximo global; é apenas um ponto crítico (de fato um máximo local sob certas restrições, ver próximo passo).
Passo 7
Comentário didático final e alternativa útil: se o problema tivesse imposto que os três números fossem não-negativos (ou reais e buscássemos o máximo entre números não-negativos), então o teorema da média aritmética-geométrica (AM-GM) dá diretamente que, para
com
,
com igualdade exatamente quando
. Assim, entre os não-negativos o máximo existe e é alcançado quando os três são iguais. Mas, repetindo, sem a restrição de não-negatividade o produto não tem máximo global.
Resposta
Não existe máximo global para o produto quando permitimos números reais arbitrários (o produto é arbitrariamente grande; por exemplo, com