defina
como
para resolver as questões de 1 a 4 .
Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume
. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de R$ 5 por centímetro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua fabricação.
Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Foi definido
. Portanto o volume da caixa é , isto é . - A caixa é retangular com dimensões (positivas) que vamos chamar de
, e (em ). - O custo do material é de R$ 5 por centímetro quadrado de área da superfície da caixa.
- O que se pede: determinar as dimensões da caixa que tornam mínimo o custo do material.
Informações relevantes listadas:
- Volume fixo:
. - Custo proporcional à área da superfície: minimizar custo é equivalente a minimizar a área da superfície sujeita à restrição do volume.
Passo 2
Vamos traduzir isso em fórmulas (definindo as variáveis com clareza).
-
, , são os comprimentos das arestas da caixa, em . São positivos. - Volume:
- Área total da superfície de uma caixa retangular:
- Custo
em reais, por ser R$ 5 por :
Observação importante (útil para a prova): como o fator
é constante e positivo, minimizar
é exatamente o mesmo que minimizar
. Então podemos minimizar
sob a restrição
e depois multiplicar por
para obter o custo mínimo.
Passo 3
Escolha do método e ideia principal (explicação didática curta).
- Temos uma função
a minimizar sujeita à restrição . - Um método eficiente para problemas assim é o método dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos um multiplicador
e procuramos pontos críticos da função
- Intuição do método (em linguagem simples): ajustamos
para balancear a variação da área com a variação do volume; é um número que “equilibra” essa restrição.
Passo 4
Montando a função de Lagrange e calculando as derivadas parciais.
- Definimos
- Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero (condições de ponto crítico):
Essas quatro equações formam o sistema que devemos resolver.
Passo 5
Exploração das equações para deduzir relação entre
.
- Subtraindo a segunda da primeira obtemos:
o que simplifica para
- Analogamente, das outras diferenças obtemos:
Interpretação simples e passo lógico (explicando sem pular etapas):
- Cada um desses produtos é zero. Se, por exemplo,
então seria necessário . Mas as três equações similares forçariam e também, o que implicaria de qualquer forma (porque se e então e, como não é zero simultaneamente em todas as equações sem redundância, chega-se a etc.). O caminho mais direto e usual: pelo princípio de simetria do problema (as equações são simétricas em ) o ponto que minimiza a superfície com volume fixo é simétrico, isto é, . - Conclusão prática e aceita em provas: a solução interna positiva que minimiza
satisfaz
Passo 6
Usando
e a restrição de volume para encontrar
.
- Substituindo
na condição do volume:
- Logo a aresta do cubo que minimiza a área é
Breve comentário didático: este resultado faz sentido físico/intuitivo — para volume fixo, entre todos os paralelepípedos o cubo tem a menor área de superfície (isto pode ser provado rigorosamente com Lagrange ou por desigualdade AM-GM).
Passo 7
Calcular a área mínima e o custo mínimo (formas exatas e aproximações numéricas).
- Área mínima:
- Custo mínimo:
Agora aproximações numéricas (para usar na prova, se pedirem valor numérico):
-
(arredondando para três casas decimais). -
. -
reais (R$ 242,60), arredondando para duas casas decimais.
Passo 8
Resumo final e dica de prova (motivação e lembrete).
- Conclusão prática: a caixa que minimiza o custo, com volume fixo
, é um cubo de aresta . - Dica para a prova: se aparecer problema do tipo “minimizar área com volume fixo” para paralelepípedos, pense imediatamente em simetria (cubo) ou use Lagrange. Se a prova exigir justificativa, use as equações de Lagrange como fizemos.
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são
.
Custo mínimo: reais (aproximadamente
reais).
Custo mínimo: