defina P como P=23 para resolver as questões de 1 a 4 .
Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume
\mathrm{V}=\mathrm{P} \mathrm{cm}^{3}\\. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de R$ 5 por centímetro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua fabricação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Foi definido \mathrm{P}=23. Portanto o volume da caixa é \mathrm{V}=\mathrm{P}\\ \mathrm{cm}^3, isto é \mathrm{V}=23\\ \mathrm{cm}^3.
  • A caixa é retangular com dimensões (positivas) que vamos chamar de \;x, \;y e \;z (em \mathrm{cm}).
  • O custo do material é de R$ 5 por centímetro quadrado de área da superfície da caixa.
  • O que se pede: determinar as dimensões da caixa que tornam mínimo o custo do material.
Informações relevantes listadas:
  • Volume fixo: \;xyz=23.
  • Custo proporcional à área da superfície: minimizar custo é equivalente a minimizar a área da superfície sujeita à restrição do volume.

Passo 2

Vamos traduzir isso em fórmulas (definindo as variáveis com clareza).
  • x, y, z são os comprimentos das arestas da caixa, em \mathrm{cm}. São positivos.
  • Volume: xyz=23.
  • Área total da superfície de uma caixa retangular: S=2(xy+xz+yz).
  • Custo C em reais, por ser R$ 5 por \mathrm{cm}^2: C = 5\cdot S = 5\cdot 2(xy+xz+yz)=10(xy+xz+yz).
Observação importante (útil para a prova): como o fator 5 é constante e positivo, minimizar C é exatamente o mesmo que minimizar S. Então podemos minimizar S sob a restrição xyz=23 e depois multiplicar por 5 para obter o custo mínimo.

Passo 3

Escolha do método e ideia principal (explicação didática curta).
  • Temos uma função S(x,y,z)=2(xy+xz+yz) a minimizar sujeita à restrição g(x,y,z)=xyz-23=0.
  • Um método eficiente para problemas assim é o método dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos um multiplicador \lambda e procuramos pontos críticos da função
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=S(x,y,z)+\lambda\,(xyz-23).
  • Intuição do método (em linguagem simples): ajustamos x,y,z para balancear a variação da área com a variação do volume; \lambda é um número que “equilibra” essa restrição.

Passo 4

Montando a função de Lagrange e calculando as derivadas parciais.
  • Definimos \mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=2(xy+xz+yz)+\lambda(xyz-23).
  • Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero (condições de ponto crítico):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2(y+z)+\lambda\,yz=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=2(x+z)+\lambda\,xz=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=2(x+y)+\lambda\,xy=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=xyz-23=0.
Essas quatro equações formam o sistema que devemos resolver.

Passo 5

Exploração das equações para deduzir relação entre x,y,z.
  • Subtraindo a segunda da primeira obtemos:
[2(y+z)+\lambda yz]-[2(x+z)+\lambda xz]=0
o que simplifica para
2(y-x)+\lambda z(y-x)=(y-x)\bigl(2+\lambda z\bigr)=0.
  • Analogamente, das outras diferenças obtemos:
(z-y)\bigl(2+\lambda x\bigr)=0,\qquad (x-z)\bigl(2+\lambda y\bigr)=0.
Interpretação simples e passo lógico (explicando sem pular etapas):
  • Cada um desses produtos é zero. Se, por exemplo, y\neq x então seria necessário 2+\lambda z=0. Mas as três equações similares forçariam 2+\lambda x=0 e 2+\lambda y=0 também, o que implicaria x=y=z de qualquer forma (porque se 2+\lambda z=0 e 2+\lambda x=0 então \lambda z=\lambda x e, como \lambda não é zero simultaneamente em todas as equações sem redundância, chega-se a x=z etc.). O caminho mais direto e usual: pelo princípio de simetria do problema (as equações são simétricas em x,y,z) o ponto que minimiza a superfície com volume fixo é simétrico, isto é, x=y=z.
  • Conclusão prática e aceita em provas: a solução interna positiva que minimiza S satisfaz x=y=z.

Passo 6

Usando x=y=z=a e a restrição de volume para encontrar a.
  • Substituindo x=y=z=a na condição do volume:
a^3=23.
  • Logo a aresta do cubo que minimiza a área é
a=\sqrt[3]{23}.
Breve comentário didático: este resultado faz sentido físico/intuitivo — para volume fixo, entre todos os paralelepípedos o cubo tem a menor área de superfície (isto pode ser provado rigorosamente com Lagrange ou por desigualdade AM-GM).

Passo 7

Calcular a área mínima e o custo mínimo (formas exatas e aproximações numéricas).
  • Área mínima:
S_{\min}=2\bigl(a^2+a^2+a^2\bigr)=6a^2=6\bigl(\sqrt[3]{23}\bigr)^2=6\cdot 23^{2/3}.
  • Custo mínimo:
C_{\min}=5\cdot S_{\min}=5\cdot 6\cdot 23^{2/3}=30\cdot 23^{2/3}.
Agora aproximações numéricas (para usar na prova, se pedirem valor numérico):
  • a=\sqrt[3]{23}\approx 2,844\\ \mathrm{cm} (arredondando para três casas decimais).
  • S_{\min}=6\cdot 23^{2/3}\approx 48,53\\ \mathrm{cm}^2.
  • C_{\min}=30\cdot 23^{2/3}\approx 242,60 reais (R$ 242,60), arredondando para duas casas decimais.

Passo 8

Resumo final e dica de prova (motivação e lembrete).
  • Conclusão prática: a caixa que minimiza o custo, com volume fixo \,23\\ \mathrm{cm}^3, é um cubo de aresta \sqrt[3]{23}.
  • Dica para a prova: se aparecer problema do tipo “minimizar área com volume fixo” para paralelepípedos, pense imediatamente em simetria (cubo) ou use Lagrange. Se a prova exigir justificativa, use as equações de Lagrange como fizemos.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são x=y=z=\sqrt[3]{23}\\ \mathrm{cm}.
Custo mínimo: C_{\min}=30\cdot 23^{2/3} reais (aproximadamente 242,60 reais).

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