Problema 6 Seja o sistema
\left\{\begin{array}{rlll} -x_{1}+2 x_{2} & -x_{3} & & =1 \\\\ 2 x_{1} & -x_{2} & & \\\ & -x_{2} & +2 x_{3} & -x_{4} \\\ & & =1 \\\ & & -x_{3} & +x_{4} \end{array}=1\right.
(a) Reordene as equações para que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(b) Determine a solução do sistema pelo método de Gauss-Seidel, com 3 iterações.
(c) Determinar a estimativa do erro.

Passo 1

Vou começar identificando exatamente o que o enunciado dá e o que pede. O sistema fornecido (interpretei as colunas como x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e todas as equações igualadas a 1) é:
\begin{cases} -x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}=1,\\[4pt] -x_{2}+2x_{3}-x_{4}=1,\\[4pt] -x_{3}+x_{4}=1. \end{cases}
As perguntas são:
(a) Reordenar as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(b) Determinar a solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel com 3 iterações.
(c) Determinar a estimativa do erro (usualmente feita por usar o critério de Sassenfeld / constante de contração).
Além disso anoto as informações relevantes que vou usar:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Explicando o critério de Sassenfeld (passo-a-passo, como se eu te explicasse na prova):
  • Seja A=(a_{ij}) a matriz do sistema. Definimos os números \beta_i sequencialmente por
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|\right).
  • Se \max_i\beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução para qualquer chute inicial (e a constante \beta=\max_i\beta_i permite estimar erros).
  • O ponto importante: o primeiro \beta calculado (o \beta do primeiro índice na ordem que escolhermos) é simplesmente a soma dos módulos das entradas não diagonais dessa primeira linha dividida por |a_{ii}|; não há \beta anteriores para multiplicar.
Agora calculo, linha a linha, as razões “soma dos módulos das não-diagonais dividido pelo módulo do diagonal” (esses são os candidatos a serem o primeiro \beta se eu colocar essa linha em primeiro lugar):
  • Para a linha correspondente a x_{1} (primeira equação): \dfrac{|2|+|{-1}|+|0|}{|{-1}|}=\dfrac{2+1+0}{1}=3.
  • Para a linha de x_{2} (segunda equação): \dfrac{|2|+0+0}{|{-1}|}=\dfrac{2}{1}=2.
  • Para a linha de x_{3} (terceira equação): \dfrac{0+|{-1}|+|{-1}|}{|2|}=\dfrac{1+1}{2}=1.
  • Para a linha de x_{4} (quarta equação): \dfrac{0+0+|{-1}|}{|1|}=\dfrac{1}{1}=1.
Observação crucial (e útil na prova): o menor desses valores é 1. Isso significa que, não importa qual linha eu escolha para ser a primeira na ordem, o primeiro \beta que eu obtiver será ao menos 1. Como o critério de Sassenfeld exige \max_i\beta_i<1 (estritamente menor que 1), é impossível conseguir \max_i\beta_i<1 reordenando as equações: o primeiro \beta será sempre \ge 1. Portanto não existe reordenação das equações que satisfaça o critério de Sassenfeld estrito.
Conclusão do item (a): não é possível reordenar as equações para que o critério de Sassenfeld (no sentido habitual, \max\beta_i<1) seja satisfeito, porque qualquer linha que venha primeiro dá um \beta\ge 1.

Passo 3

Agora ensino e aplico o método de Gauss–Seidel (passo-a-passo) e faço as 3 iterações pedidas, mesmo sabendo que o critério não garante convergência — é importante para a prova saber aplicar o método e ver o comportamento.
O método de Gauss–Seidel para sistema Ax=b com as variáveis na ordem x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}: em cada iteração k atualizamos x_i^{(k)} usando as últimas componentes já calculadas na iteração k (para índices menores) e os valores antigos (iteração k-1) para índices maiores. Em fórmula explícita,
x_i^{(k)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k-1)}\Bigr).
Primeiro isolamos cada variável das equações do nosso sistema (para aplicar diretamente):
\begin{aligned} \text{(1)}\;& -x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=-1+2x_{2}-x_{3},\\[4pt] \text{(2)}\;& 2x_{1}-x_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=2x_{1}-1,\\[4pt] \text{(3)}\;& -x_{2}+2x_{3}-x_{4}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{1+x_{2}+x_{4}}{2},\\[4pt] \text{(4)}\;& -x_{3}+x_{4}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{4}=1+x_{3}. \end{aligned}
Escolho o chute inicial padrão \;x^{(0)}=(0,0,0,0)^\top e aplico a ordem natural x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.]

Passo 4

Iteração 1 (k=1). Uso sempre os valores já atualizados quando disponíveis:
  • x_{1}^{(1)}=-1+2x_{2}^{(0)}-x_{3}^{(0)}=-1+2\cdot 0-0=-1.
  • x_{2}^{(1)}=2x_{1}^{(1)}-1=2(-1)-1=-3.
  • x_{3}^{(1)}=\dfrac{1+x_{2}^{(1)}+x_{4}^{(0)}}{2}=\dfrac{1+(-3)+0}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1.
  • x_{4}^{(1)}=1+x_{3}^{(1)}=1+(-1)=0.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-3\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Iteração 2 (k=2):
  • x_{1}^{(2)}=-1+2x_{2}^{(1)}-x_{3}^{(1)}=-1+2(-3)-(-1)=-1-6+1=-6.
  • x_{2}^{(2)}=2x_{1}^{(2)}-1=2(-6)-1=-12-1=-13.
  • x_{3}^{(2)}=\dfrac{1+x_{2}^{(2)}+x_{4}^{(1)}}{2}=\dfrac{1+(-13)+0}{2}=\dfrac{-12}{2}=-6.
  • x_{4}^{(2)}=1+x_{3}^{(2)}=1+(-6)=-5.
Portanto
x^{(2)}=\begin{pmatrix}-6\\[2pt]-13\\[2pt]-6\\[2pt]-5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Iteração 3 (k=3):
  • x_{1}^{(3)}=-1+2x_{2}^{(2)}-x_{3}^{(2)}=-1+2(-13)-(-6)=-1-26+6=-21.
  • x_{2}^{(3)}=2x_{1}^{(3)}-1=2(-21)-1=-42-1=-43.
  • x_{3}^{(3)}=\dfrac{1+x_{2}^{(3)}+x_{4}^{(2)}}{2}=\dfrac{1+(-43)+(-5)}{2}=\dfrac{-47}{2}=-23{,}5.
  • x_{4}^{(3)}=1+x_{3}^{(3)}=1+(-23{,}5)=-22{,}5.
Portanto
x^{(3)}=\begin{pmatrix}-21\\[2pt]-43\\[2pt]-23{,}5\\[2pt]-22{,}5\end{pmatrix}.
Observação prática: os valores estão ficando cada vez maiores em módulo (o método está divergindo neste caso), o que já era esperado porque o critério de Sassenfeld não assegura convergência aqui.]

Passo 7

Estimativa do erro (explicação didática e aplicação):
  • Quando o critério de Sassenfeld resulta em \beta=\max_i\beta_i<1, existe a estimativa útil (em norma infinito) para o erro do Gauss–Seidel:
\|x^{(k)}-x^\ast\|_\infty\le \frac{\beta}{1-\beta}\,\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty,
onde x^\ast é a solução exata. Essa fórmula precisa de \beta<1 para fazer sentido (denominador positivo).
  • No nosso caso já concluímos que qualquer \beta inicial será \ge 1; portanto a hipótese \beta<1 falha e essa estimativa não é válida. Não podemos garantir nem calcular a constante \dfrac{\beta}{1-\beta} porque o denominador seria \le 0.
  • Numericamente, podemos ver divergência: as diferenças entre iterações aumentam. Para fins de informação:
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=\max\{5,10,5,5\}=10,
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=\max\{15,30,17{,}5,17{,}5\}=30.
Esses números mostram que as iterações estão a afastar-se em vez de convergir, portanto não há uma estimativa de erro útil via Sassenfeld aqui.

Resposta

(a) Não é possível reordenar as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito (qualquer linha colocada primeiro dá \beta\ge 1).
(b) Após 3 iterações de Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0,0)^\top:
x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-3\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad x^{(2)}=\begin{pmatrix}-6\\[2pt]-13\\[2pt]-6\\[2pt]-5\end{pmatrix},\quad x^{(3)}=\begin{pmatrix}-21\\[2pt]-43\\[2pt]-23{,}5\\[2pt]-22{,}5\end{pmatrix}.
(c) Não é possível fornecer a estimativa de erro baseada no critério de Sassenfeld porque \max_i\beta_i\ge 1 (hipótese necessária não satisfeita); numericamente observa-se divergência (por exemplo \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=30).]

Exercícios relacionados