(a) Reordene as equações para que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(b) Determine a solução do sistema pelo método de Gauss-Seidel, com 3 iterações.
(c) Determinar a estimativa do erro.
Passo 1
Vou começar identificando exatamente o que o enunciado dá e o que pede. O sistema fornecido (interpretei as colunas como x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e todas as equações igualadas a 1) é:
As perguntas são:
(a) Reordenar as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(b) Determinar a solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel com 3 iterações.
(c) Determinar a estimativa do erro (usualmente feita por usar o critério de Sassenfeld / constante de contração).
Além disso anoto as informações relevantes que vou usar:
Se \max_i\beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução para qualquer chute inicial (e a constante \beta=\max_i\beta_i permite estimar erros).
O ponto importante: o primeiro \beta calculado (o \beta do primeiro índice na ordem que escolhermos) é simplesmente a soma dos módulos das entradas não diagonais dessa primeira linha dividida por |a_{ii}|; não há \beta anteriores para multiplicar.
Agora calculo, linha a linha, as razões “soma dos módulos das não-diagonais dividido pelo módulo do diagonal” (esses são os candidatos a serem o primeiro \beta se eu colocar essa linha em primeiro lugar):
Para a linha correspondente a x_{1} (primeira equação): \dfrac{|2|+|{-1}|+|0|}{|{-1}|}=\dfrac{2+1+0}{1}=3.
Para a linha de x_{2} (segunda equação): \dfrac{|2|+0+0}{|{-1}|}=\dfrac{2}{1}=2.
Para a linha de x_{3} (terceira equação): \dfrac{0+|{-1}|+|{-1}|}{|2|}=\dfrac{1+1}{2}=1.
Para a linha de x_{4} (quarta equação): \dfrac{0+0+|{-1}|}{|1|}=\dfrac{1}{1}=1.
Observação crucial (e útil na prova): o menor desses valores é 1. Isso significa que, não importa qual linha eu escolha para ser a primeira na ordem, o primeiro \beta que eu obtiver será ao menos 1. Como o critério de Sassenfeld exige \max_i\beta_i<1 (estritamente menor que 1), é impossível conseguir \max_i\beta_i<1 reordenando as equações: o primeiro \beta será sempre \ge 1. Portanto não existe reordenação das equações que satisfaça o critério de Sassenfeld estrito.
Conclusão do item (a): não é possível reordenar as equações para que o critério de Sassenfeld (no sentido habitual, \max\beta_i<1) seja satisfeito, porque qualquer linha que venha primeiro dá um \beta\ge 1.
Passo 3
Agora ensino e aplico o método de Gauss–Seidel (passo-a-passo) e faço as 3 iterações pedidas, mesmo sabendo que o critério não garante convergência — é importante para a prova saber aplicar o método e ver o comportamento.
O método de Gauss–Seidel para sistema Ax=b com as variáveis na ordem x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}: em cada iteração k atualizamos x_i^{(k)} usando as últimas componentes já calculadas na iteração k (para índices menores) e os valores antigos (iteração k-1) para índices maiores. Em fórmula explícita,
Observação prática: os valores estão ficando cada vez maiores em módulo (o método está divergindo neste caso), o que já era esperado porque o critério de Sassenfeld não assegura convergência aqui.]
Passo 7
Estimativa do erro (explicação didática e aplicação):
Quando o critério de Sassenfeld resulta em \beta=\max_i\beta_i<1, existe a estimativa útil (em norma infinito) para o erro do Gauss–Seidel:
onde x^\ast é a solução exata. Essa fórmula precisa de \beta<1 para fazer sentido (denominador positivo).
No nosso caso já concluímos que qualquer \beta inicial será \ge 1; portanto a hipótese \beta<1 falha e essa estimativa não é válida. Não podemos garantir nem calcular a constante \dfrac{\beta}{1-\beta} porque o denominador seria \le 0.
Numericamente, podemos ver divergência: as diferenças entre iterações aumentam. Para fins de informação:
Esses números mostram que as iterações estão a afastar-se em vez de convergir, portanto não há uma estimativa de erro útil via Sassenfeld aqui.
Resposta
(a) Não é possível reordenar as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito (qualquer linha colocada primeiro dá \beta\ge 1).
(b) Após 3 iterações de Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0,0)^\top:
(c) Não é possível fornecer a estimativa de erro baseada no critério de Sassenfeld porque \max_i\beta_i\ge 1 (hipótese necessária não satisfeita); numericamente observa-se divergência (por exemplo \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=30).]