Problema 7 Seja o sistema
\left[\begin{array}{ccc} a & 2 & -2 \\\\ 1 & a & 1 \\\\ 2 & 2 & a \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]
(a) Para quais valores de a, o método de Gauss-Jacobi garante convergência?
(b) Tome um valor de a conveniente e resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi, com 3 iterações.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{pmatrix} a & 2 & -2\\[4pt] 1 & a & 1\\[4pt] 2 & 2 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[4pt] 2\\[4pt] 3 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  1. (a) Para quais valores de a o método de Gauss–Jacobi garante convergência?
  2. (b) Escolher um valor conveniente de a e aplicar Gauss–Jacobi com 3 iterações para aproximar a solução.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz do sistema tem entradas diagonais iguais a a e entradas fora da diagonal dadas por 2,-2,1,1,2,2 conforme a matriz acima.
  • O termo independente (vetor b) é \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Apresentação e fórmula do método de Gauss–Jacobi (aula curta e direta).
Separe a matriz A em A=D-(L+U), onde:
  • D é a matriz diagonal contendo os elementos diagonais de A,
  • L é a parte estritamente triangular inferior (com sinal positivo no nosso arranjo),
  • U é a parte estritamente triangular superior (com sinal positivo).
Escrevendo isso:
D=\begin{pmatrix}a&0&0\\[4pt]0&a&0\\[4pt]0&0&a\end{pmatrix},\qquad L+U=\begin{pmatrix}0&-2&2\\[4pt]-1&0&-1\\[4pt]-2&-2&0\end{pmatrix}
(atenção: aqui escolhemos a decomposição de modo que A=D-(L+U); o sinal dependente da convenção, o importante é a fórmula iterativa a seguir).
A iteração de Jacobi é dada por
x^{(k+1)}=D^{-1}\bigl(b-(L+U)x^{(k)}\bigr).
Definindo a matriz de iteração
T:=D^{-1}(L+U),
temos a forma habitual
x^{(k+1)}=T x^{(k)}+D^{-1}b.
Convergência do método: o método converge para qualquer condição inicial se e somente se o raio espectral \rho(T)<1. Uma condição simples e prática que garante \rho(T)<1 é encontrar uma norma subordinada tal que \|T\|<1; em particular, se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, então a norma infinito de T satisfaz \|T\|_\infty<1 e assim \rho(T)<1, garantindo convergência.
Explicando diagonalmente dominante por linhas: A matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Isto significa que o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos elementos não diagonais da mesma linha.]

Passo 3

Aplicando a condição de dominância estrita por linhas à nossa matriz A.
Calcule para cada linha a soma dos módulos dos elementos não diagonais:
  • Linha 1: \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|2|+|-2|=2+2=4.
  • Linha 2: \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|1|+|1|=1+1=2.
  • Linha 3: \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|2|+|2|=2+2=4.
A condição |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para todas as linhas se traduz aqui em:
|a|>4\quad\text{(porque as linhas 1 e 3 exigem \(|a|>4\), e isso já implica \(|a|>2\) para a linha 2).}á
Conclusão: se |a|>4 então A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Jacobi garante convergência. (Observação: existem casos onde Jacobi converge mesmo sem dominância estrita, mas o enunciado pede para quais valores o método “garante” convergência — a condição |a|>4 é uma resposta natural e suficiente.)

Passo 4

Escolha de um valor conveniente para a\) e montagem das fórmulas de iteração. Escolho \(a=5\) (é o menor inteiro com \(|a|>4\), torna os denominadores simples: \(1/5\)). Com \(a=5\) o sistema fica \[\begin{cases} 5x_1+2x_2-2x_3=1,\\[4pt] x_1+5x_2+x_3=2,\\[4pt] 2x_1+2x_2+5x_3=3. \end{cases}
Isolando cada variável (forma usada pelo Jacobi — sempre usar somente os valores da iteração anterior no lado direito):
x_1=\dfrac{1-2x_2+2x_3}{5},\qquad x_2=\dfrac{2-x_1-x_3}{5},\qquad x_3=\dfrac{3-2x_1-2x_2}{5}.
Essas três fórmulas definem a iteração x^{(k+1)}\] em função de \(x^{(k)}.]

Passo 5

Escolha da aproximação inicial e primeira iteração.
Escolhemos a aproximação inicial usual x^{(0)}=(0,0,0)^T (simples e permitido). Agora calculamos x^{(1)} aplicando as fórmulas:
Calcule x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\dfrac{1-2\cdot 0+2\cdot 0}{5}=\dfrac{1}{5}.
Calcule x_2^{(1)}:
x_2^{(1)}=\dfrac{2-0-0}{5}=\dfrac{2}{5}.
Calcule x_3^{(1)}:
x_3^{(1)}=\dfrac{3-2\cdot 0-2\cdot 0}{5}=\dfrac{3}{5}.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{5}\\[6pt]\dfrac{2}{5}\\[6pt]\dfrac{3}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Segunda iteração: cálculo de x^{(2)} usando x^{(1)}.
Calcule x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\dfrac{1-2\cdot\frac{2}{5}+2\cdot\frac{3}{5}}{5} =\dfrac{1-\frac{4}{5}+\frac{6}{5}}{5} =\dfrac{1+\frac{2}{5}}{5} =\dfrac{\frac{7}{5}}{5} =\dfrac{7}{25}.
Calcule x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=\dfrac{2-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}}{5} =\dfrac{2-\frac{4}{5}}{5} =\dfrac{\frac{6}{5}}{5} =\dfrac{6}{25}.
Calcule x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=\dfrac{3-2\cdot\frac{1}{5}-2\cdot\frac{2}{5}}{5} =\dfrac{3-\frac{2}{5}-\frac{4}{5}}{5} =\dfrac{3-\frac{6}{5}}{5} =\dfrac{\frac{9}{5}}{5} =\dfrac{9}{25}.
Portanto
x^{(2)}=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{25}\\[6pt]\dfrac{6}{25}\\[6pt]\dfrac{9}{25}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Terceira iteração: cálculo de x^{(3)} usando x^{(2)}.
Calcule x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\dfrac{1-2\cdot\frac{6}{25}+2\cdot\frac{9}{25}}{5} =\dfrac{1-\frac{12}{25}+\frac{18}{25}}{5} =\dfrac{1+\frac{6}{25}}{5} =\dfrac{\frac{31}{25}}{5} =\dfrac{31}{125}.
Calcule x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\dfrac{2-\frac{7}{25}-\frac{9}{25}}{5} =\dfrac{2-\frac{16}{25}}{5} =\dfrac{\frac{34}{25}}{5} =\dfrac{34}{125}.
Calcule x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=\dfrac{3-2\cdot\frac{7}{25}-2\cdot\frac{6}{25}}{5} =\dfrac{3-\frac{14}{25}-\frac{12}{25}}{5} =\dfrac{3-\frac{26}{25}}{5} =\dfrac{\frac{49}{25}}{5} =\dfrac{49}{125}.
Portanto
x^{(3)}=\begin{pmatrix}\dfrac{31}{125}\\[6pt]\dfrac{34}{125}\\[6pt]\dfrac{49}{125}\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) |a|>4.\n(b) Para a=5: x^{(1)}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{5}\\[4pt]\dfrac{2}{5}\\[4pt]\dfrac{3}{5}\end{pmatrix},\; x^{(2)}=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{25}\\[4pt]\dfrac{6}{25}\\[4pt]\dfrac{9}{25}\end{pmatrix},\; x^{(3)}=\begin{pmatrix}\dfrac{31}{125}\\[4pt]\dfrac{34}{125}\\[4pt]\dfrac{49}{125}\end{pmatrix}\]

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