(a) Para quais valores de a, o método de Gauss-Jacobi garante convergência?
(b) Tome um valor de a conveniente e resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi, com 3 iterações.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{pmatrix} a & 2 & -2\\[4pt] 1 & a & 1\\[4pt] 2 & 2 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[4pt] 2\\[4pt] 3 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
(a) Para quais valores de a o método de Gauss–Jacobi garante convergência?
(b) Escolher um valor conveniente de a e aplicar Gauss–Jacobi com 3 iterações para aproximar a solução.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz do sistema tem entradas diagonais iguais a a e entradas fora da diagonal dadas por 2,-2,1,1,2,2 conforme a matriz acima.
O termo independente (vetor b) é \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.]
Passo 2
Apresentação e fórmula do método de Gauss–Jacobi (aula curta e direta).
Separe a matriz A em A=D-(L+U), onde:
D é a matriz diagonal contendo os elementos diagonais de A,
L é a parte estritamente triangular inferior (com sinal positivo no nosso arranjo),
U é a parte estritamente triangular superior (com sinal positivo).
(atenção: aqui escolhemos a decomposição de modo que A=D-(L+U); o sinal dependente da convenção, o importante é a fórmula iterativa a seguir).
A iteração de Jacobi é dada por
x^{(k+1)}=D^{-1}\bigl(b-(L+U)x^{(k)}\bigr).
Definindo a matriz de iteração
T:=D^{-1}(L+U),
temos a forma habitual
x^{(k+1)}=T x^{(k)}+D^{-1}b.
Convergência do método: o método converge para qualquer condição inicial se e somente se o raio espectral \rho(T)<1. Uma condição simples e prática que garante \rho(T)<1 é encontrar uma norma subordinada tal que \|T\|<1; em particular, se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, então a norma infinito de T satisfaz \|T\|_\infty<1 e assim \rho(T)<1, garantindo convergência.
Explicando diagonalmente dominante por linhas: A matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Isto significa que o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos elementos não diagonais da mesma linha.]
Passo 3
Aplicando a condição de dominância estrita por linhas à nossa matriz A.
Calcule para cada linha a soma dos módulos dos elementos não diagonais:
Linha 1: \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|2|+|-2|=2+2=4.
Linha 2: \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|1|+|1|=1+1=2.
Linha 3: \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|2|+|2|=2+2=4.
A condição |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para todas as linhas se traduz aqui em:
|a|>4\quad\text{(porque as linhas 1 e 3 exigem \(|a|>4\), e isso já implica \(|a|>2\) para a linha 2).}á
Conclusão: se |a|>4 então A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Jacobi garante convergência. (Observação: existem casos onde Jacobi converge mesmo sem dominância estrita, mas o enunciado pede para quais valores o método “garante” convergência — a condição |a|>4 é uma resposta natural e suficiente.)
Passo 4
Escolha de um valor conveniente para a\) e montagem das fórmulas de iteração.
Escolho \(a=5\) (é o menor inteiro com \(|a|>4\), torna os denominadores simples: \(1/5\)). Com \(a=5\) o sistema fica
\[\begin{cases} 5x_1+2x_2-2x_3=1,\\[4pt] x_1+5x_2+x_3=2,\\[4pt] 2x_1+2x_2+5x_3=3. \end{cases}
Isolando cada variável (forma usada pelo Jacobi — sempre usar somente os valores da iteração anterior no lado direito):
Essas três fórmulas definem a iteração x^{(k+1)}\] em função de \(x^{(k)}.]
Passo 5
Escolha da aproximação inicial e primeira iteração.
Escolhemos a aproximação inicial usual x^{(0)}=(0,0,0)^T (simples e permitido). Agora calculamos x^{(1)} aplicando as fórmulas: