Uma livraria mantém os registros das vendas diárias dos livros. Com os dados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória \mathrm{X}= número de livros vendidos por semana:
x_{i} 0 1 2 3 4 5
p\left(x_{i}\right) 0,05 0,15 0,42 0,2 0,08 0,1
Calcule o número esperado de livros vendidos por semana.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o número esperado de livros vendidos por semana, ou seja, a média da variável aleatória \mathrm{X} que representa o número de livros vendidos por semana. Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
x_i: 0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5
p(x_i): 0,05,\;0,15,\;0,42,\;0,2,\;0,08,\;0,1
As perguntas são: qual é o valor esperado E(\mathrm{X}) usando essa distribuição de probabilidade?

Passo 2

O que é o valor esperado? Vou explicar devagar e com peito aberto: o valor esperado é a média “teórica” da variável aleatória, ponderando cada valor possível pelo quanto ele é provável. A fórmula é
E(\mathrm{X})=\sum_{i} x_i \, p(x_i),
onde x_i são os valores que a variável pode assumir e p(x_i) é a probabilidade associada a cada x_i. Aqui:
  • x_i é o número de livros vendidos (por exemplo, x_1=0, x_2=1, …).
  • p(x_i) é a probabilidade de vender exatamente x_i livros naquela semana (por exemplo, p(1)=0,15).
    Antes de aplicar a fórmula, é bom checar rapidamente se as probabilidades somam 1 (sanity check).

Passo 3

Verificação rápida: somando as probabilidades da tabela temos
0,05+0,15+0,42+0,2+0,08+0,1=1,0,
ou seja, está tudo consistente (as probabilidades somam 1).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula e calculamos cada termo x_i\cdot p(x_i). Vou listar cada produto (cada linha é um termo da soma):
0\cdot 0,05 = 0
1\cdot 0,15 = 0,15
2\cdot 0,42 = 0,84
3\cdot 0,2 = 0,60
4\cdot 0,08 = 0,32
5\cdot 0,1 = 0,50

Passo 5

Somamos todos os termos para obter o valor esperado:
E(\mathrm{X})=0+0,15+0,84+0,60+0,32+0,50
Fazendo a soma passo a passo:
0,15+0,84=0,99
0,99+0,60=1,59
1,59+0,32=1,91
1,91+0,50=2,41
Portanto o valor esperado (média) é 2,41.

Resposta

2,41 livros por semana

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