Defina polinômio minimal de uma matriz quadrada
. Se o polinômio característico de uma matriz quadrada
é
, qual a ordem da matriz
? Quais as possibilidades para o polinômio minimal de
?
Passo 1
O enunciado pede primeiro que a gente defina o polinômio minimal de uma matriz quadrada
e depois, dado que o polinômio característico de uma matriz
é
determine a ordem de
e todas as possibilidades para o polinômio minimal de
. Vamos usar conceitos de teoria de matrizes, autovalores e aniquiladores de matrizes.
Passo 2
Polinômio minimal de uma matriz
é o monico de menor grau
tal que
Ele divide o polinômio característico de
e tem exatamente os mesmos fatores lineares correspondentes aos autovalores, com expoentes iguais ao tamanho do maior bloco de Jordan para cada autovalor.
Passo 3
A ordem (dimensão) da matriz
é igual ao grau do seu polinômio característico. Aqui
logo
é uma matriz
.
Passo 4
O polinômio minimal
deve satisfazer:
- Ser monico.
- Dividir
. - Conter cada fator irreduzível
e no mínimo com expoente 1. - O expoente de
pode variar de até , dependendo do maior bloco de Jordan associado ao autovalor . O fator aparece no máximo com expoente , pois sua multiplicidade algébrica é .
Passo 5
Portanto, as possibilidades para o polinômio minimal de
são exatamente
onde
.
Resposta
A ordem de
é
.
As possibilidades para o polinômio minimal de são
As possibilidades para o polinômio minimal de