Defina polinômio minimal de uma matriz quadrada A. Se o polinômio característico de uma matriz quadrada B é p(x)=(x-4)^{3}(x+40), qual a ordem da matriz B ? Quais as possibilidades para o polinômio minimal de B ?

Passo 1

O enunciado pede primeiro que a gente defina o polinômio minimal de uma matriz quadrada A e depois, dado que o polinômio característico de uma matriz B é
p(x) = (x-4)^{3}(x+40),
determine a ordem de B e todas as possibilidades para o polinômio minimal de B. Vamos usar conceitos de teoria de matrizes, autovalores e aniquiladores de matrizes.

Passo 2

Polinômio minimal de uma matriz A é o monico de menor grau m_A(x) tal que
m_A(A) = 0.
Ele divide o polinômio característico de A e tem exatamente os mesmos fatores lineares correspondentes aos autovalores, com expoentes iguais ao tamanho do maior bloco de Jordan para cada autovalor.

Passo 3

A ordem (dimensão) da matriz B é igual ao grau do seu polinômio característico. Aqui
\deg p(x) = 3 + 1 = 4,
logo B é uma matriz 4\times4.

Passo 4

O polinômio minimal m_B(x) deve satisfazer:
  1. Ser monico.
  2. Dividir p(x)=(x-4)^3(x+40).
  3. Conter cada fator irreduzível (x-4) e (x+40) no mínimo com expoente 1.
  4. O expoente de (x-4) pode variar de 1 até 3, dependendo do maior bloco de Jordan associado ao autovalor 4. O fator (x+40) aparece no máximo com expoente 1, pois sua multiplicidade algébrica é 1.

Passo 5

Portanto, as possibilidades para o polinômio minimal de B são exatamente
m_B(x) = (x-4)^{k}\,(x+40),
onde k\in\{1,2,3\}.

Resposta

A ordem de B é 4.
As possibilidades para o polinômio minimal de B são
(x-4)(x+40),\quad (x-4)^{2}(x+40),\quad (x-4)^{3}(x+40).

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