Seja
um operador linear tal que
é um autovetor associado ao autovalor
e (
) é um autovetor associado ao autovalor
. Determine este operador. Ele é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
com os seguintes autovalores e autovetores:
é autovetor para
e
é autovetor para
. Precisamos determinar a forma de
na base canônica e verificar se
é diagonalizável.
Passo 2
Como os autovalores são distintos,
e
são autovetores linearmente independentes que formam uma base de
. Definimos a matriz de mudança de base
cujos vetores coluna são os autovetores. O determinante é
logo
Passo 3
Expressamos a base canônica
em coordenadas na base de autovetores e calculamos
e
.
ou seja,
. Aplicando
:
De modo semelhante,
ou seja,
e
Passo 4
A matriz de
na base canônica tem colunas dadas por
e
:
Logo, para
,
Passo 5
Como encontramos dois autovetores linearmente independentes,
é diagonalizável em
.
Resposta
e
é diagonalizável.