Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear tal que (0,1) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=2 e ( -1,1 ) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=-5. Determine este operador. Ele é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 com os seguintes autovalores e autovetores: (0,1) é autovetor para \lambda=2 e (-1,1) é autovetor para \lambda=-5. Precisamos determinar a forma de T na base canônica e verificar se T é diagonalizável.

Passo 2

Como os autovalores são distintos, (0,1) e (-1,1) são autovetores linearmente independentes que formam uma base de \mathbb{R}^2. Definimos a matriz de mudança de base
B = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix},
cujos vetores coluna são os autovetores. O determinante é
\det B = 0\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 1,
logo
B^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Expressamos a base canônica \{e_1,e_2\} em coordenadas na base de autovetores e calculamos T(e_1) e T(e_2).
B^{-1}e_1 = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
ou seja, e_1 = 1\cdot v_1 +(-1)\cdot v_2. Aplicando T:
T(e_1)=1\cdot T(v_1)+(-1)\cdot T(v_2) = (0,2)- (5,-5) = (-5,7).
De modo semelhante,
B^{-1}e_2 = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},
ou seja, e_2 = v_1 e
T(e_2)=T(v_1)=(0,2).]

Passo 4

A matriz de T na base canônica tem colunas dadas por T(e_1) e T(e_2):
[T] = \begin{pmatrix}-5 & 0 \\[4pt] 7 & 2\end{pmatrix}.
Logo, para (x,y)\in \mathbb{R}^2,
T(x,y) = (-5x,\;7x+2y).]

Passo 5

Como encontramos dois autovetores linearmente independentes, T é diagonalizável em \mathbb R^2.

Resposta

T é dado por
T(x,y) = (-5x,\;7x+2y),
e T é diagonalizável.

Exercícios relacionados